LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDE. 421
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κά. | PROPOSITIO XXI. |
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Οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς μετροῦσι τοὺς τὸν αὑτὸν λόγον ἔχοντας ! ἰσάκις. ὁ τε μείζων τὸν μείζονα. καὶ ὁ ἐλαττῶν τὸν ἐλαττονα. |
Minimi. numeri 1psorum eamdem rationem habentium cum ipsis metiuntur, æqualiter eos eamdem ralionem habentes, et major majorem, et minor minorem. |
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Ἑστωσαν γάρ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λογον ἐχοντῶν τοῖς Α. Β. οΟἰΤΔ. ΕΖ" λέγω ὁτι ἰσάκις ΟΥΔ τύόν μετρεῖ καὶ ὁ ἘΖ τὸν Β. |
Sint enim minimi numeri lʼA, EZ Ipsorum eamdem rationem habentium cum A, B ; dico equaliter lʼA ipsum A metiri ac EZ ipsum B. |
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Ο ΓΔ γὰρ τοῦ Α οὐκ ἔστι μερῆ. ἘΪ γάρ δυνώ- τὸν, ἐστω" καὶ ὁ ἘΖ ἀρὰ τοῦυ Β τὰ αὐυταῶ, μέερή ἐστιν ἁπερ ὃ ΓΔ τοῦ Α" ὅσα ἀρὰ ἐστὶν ἐν Τ Δ μέρηῇ του Α : . τοσαυτὰ εἐστίι καὶ τν τῷ ἘΖ μέερῆ τοῦ Β, Διῃρήσθω ὁ μὲν ΤΔ εἰς τὰ τοῦ Α μέρη τα ΓΗ, ΗΔ, ὁ δὲ ΕΖ εἰς τὰ τοῦ Β μἕρπ τὰ ἘΕΘ, Θ2Ζ᾽ ἔσται δὴ ἴσὸν τὸ πλῆθος τῶν ΤῊ. ΗΔ τῷ πλήθει τῶν ἘΘ. ΘΖ. Καὶ ἐπεὶ ἴσοι οἱ ΓΗ, ΗΔ |
Ipse TA enim ipsius A non est partes. Si enim-possibile, sit ; et EZ igitur ipsius B eædem partes est qua ΓΔ ipsius A ; quot igitur sunt in lʼA partes 1psius À, tot sunt et, in EZ partes ipsius B. Dividatur lʼA quidem in ipsas ipsius A partes TH, HA, ipse vero EZ in ipsas ipsius B partes EO, OZ ; erit utique æqualis multitudo ipsarum TʼH, HÀ mulütudini ipsarum E6, ez. |
PROPOSITION XXI.
Les plus petits nombres de ceux qui ont la même raison avec eux mesurent également ceux qui ont la même raison avec eux, le plus grand le plus grand, et le plus petit le plus petit.
Que ra, Ez soient les plus petits nombres de ceux qui ont la même raison avec À, B ; Je dis que TA mesure A autant de fois que EZ mesure B.
Le nombre rA n’est pas plusieurs parties de A ; car, que cela soit, s’il est possible ; EZ sera les mêmes parties de B que rA l’est de A (déf. 20. 7). Il y aura donc dans TA autant de parties de 4 qu’il y dans EzZ de parties de 8. Partageons TA en parties de A, et que ces parties soient TH, HA ; et Ez en parties de B, et que ces parties soient EΘ, Θz. Le nombre des parties ΓH, HΔ sera égal au nombre
