LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDE. 433
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Επεὶ γὰρ οἱ Α- Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶ, καὶ δΑ ἑαυτὸν στολλαπλασι ; ἱσʼας τὸν Τ πεποίη- Ν οιἶ Γ. Β ἆ’ρα πρὦτοι ʼπρὃς ἀλλῆλους εἰσί. Ἐπεὶ οὖνί οἱ Τ. Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶ, καὶ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίη- κενο οὐ Τ, Δ ἆ’ροι πρὧ’τοι ’πρὃς ἀλλήλους εἰσίς Πάλιν. ἐπεὶ οʼ΄Α-. Β πρὧτοι ’πρὃς ἀλλήλους εἰσὶ, καὶ ὃ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκενο Ο α. Δ ἀ’ροε πρῶτοι ’πρὃς ἀλλήλους εἰσίν" ἐπεὶ οὖν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α΄. Τ πρὸς δὺο ἀριθμοὺς τοὺς Β. Δ ἀμφότερο ; πρὸς ἐκάτερον πρῶτοί εἰσι" καὶ ὁ ἐκ τῶν Α-. Τ ἄρα γενόμενος πρὸς τὸν ἐκ τῶν Β. Δ πρῶτός ἐστι. Καὶ ἔστιν ὃ μἓνἔπτὧνΑ ΓἆΕ, ὃ δὲεκ τῶνΒ. Δ Ζ" οἷ Ε. Ζ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. Οπερ ἔδει δείξαις |
Quoniam enim A, B primi inter se sunt, et 4 se ipsum mulüplicans ipsum Tʼ fecit ; ipsi D, B igitur primi inter se sunt. Et quoniam D, B primi inter se sunt, et B se ipsum multiplicans lpsum A fecit, ipsi D, A igitur primi inter se sunt. Rursus, quoniam A, B primi inter se sunt, et B seipsum multiplicans ipsum A fecit ; ipsi A, A igitur primi inter se sunt ; et quoniam duo numeri A, T ad duos numeros B, A uterque ad utrumque primi sunt ; et ipse ex ipsis A, T igitur factus ad ipsum ex ipsis B, A primus est. Et est ipse quidem ex A, T ipse E, ipse vero ex B, A ipse Z ; ipsi E, Z igitur primi inter sc sunt, Quod oportebat ostendere. |
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ λ΄. | PROPOSITIO XXX. |
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Ἐὰν δύο οἷριθμ. οἶ πρῶτοι ’πρὄς ἀλλήλους ὦσι, καὶ συναμφὄτερος ʼπρἓς ξκοίτερον αὐτῶν πρῶτος ἐσταν" καὶ ἐαν συναμφοτερὸς πρὸς ἐνὰ τινὰ αὐτῶν πρῶτος ἧ, καὶ οἱ ἐξ ἀρχῆς ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται. |
Si duo numeri primi inter se sunt, et uterque simul ad utrumque eorum primus erit ; et si uterque simul ad unum aliquem eorum primus est, et ipsi a principio numeri primi inter se erunt. |
Puisque les nombres A, B sont premiers entr’eux, et que A étant multiplié par lui-même fait r, les nombres r, B sont premiers enu”eux (27. 7) ; et puisque T, B sont premiers entr’eux, et que B multiplié par lui-même fait 4, les nombres r, A sont premiers entrʼeux. De plus, puisque A, B sont premiers entrʼeux, et que B multiplié par lui-même a fait À, les nombres A, A sont premiers entrʼeux. Mais les deux nombres 4, r sont premiers avec les deux nombres B, 4, l’un et l’autre avec l’un et l’autre ; donc le produit de A par r est premier avec le produit de B par A (28. 7). Mais le produit de A par T est E, et le produit de B par 4 est z. Donc les nombres E, z sont premiers entrʼeux. Ce quʼil fallait démontrer.
Si deux nombres sont premiers entrʼeux, leur somme sera un nombre premier avec chacun d’eux ; et si leur somme est un nombre premier avec chacun d’eux, les deux nombres proposés seront premiers entr’eux.
