LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDE. 443
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Δ πεποίηκεν. ὁ δὲ Β τὸν Ζ πολλαπλασιᾶσας τὸν Δ πεποιηκεν" ἰσὸς ἀρῶ ἐστίν ὁ ἐ τῶ Α. Ἑ τῷῳ ἐκ τῶν Β. 2" ἐστιν αρὰ ὡς ο Α σπρὸς τὸν Β ουτως ὁ 2 πρὸς τὸν Ἐ. Οἱ δὲ Α- Β πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι χα ! ἐλαχιστοι. » ο δὲ ἐλάχίστοι μετρουσι τοὺυς τὸν αὑτὸν λογον εἐχόντας ἰσακες. ὃ τε μειζων τον μειζονω και ὁ ἐλείσσων τὸν ἐλασσονα"ο Β ἀρὰ τὸν Ἐ μετρει. ὡς ἐπόμένος ἐπόμενον, . ἕαιί ἐπε ΟΑ τουςΒ. Ἑ πολλαπλασίασὰας τους Τ. ἃ πεήοιῆκεν" ἐστίν ἄρὰ ὡς Ο Β πρὸς ΤΟΡ Ε ουτῶς ΟΤ᾽ πρὸς τὸν Δʼ μετρεῖ δὲ ς Β τὸν Ἐ" μετρεῖ ἄρα καὶ ὃ Τʼ τὸν Δ, ὃ μειζων τὸν ἐλασσονα 5 Οπερ ἐστιν αδυνατον" οὐκ ἀρώ οἱ Α-. Β μετρησουσι" τινα ἀριθμον ἐλάσσονω ὁντὰ Τοῦ Γ. ὅταν οἱ Α. Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὠσιν 0 Τ ἀρα ἐλάχιστος ὧν ὑπὸ τῶν Α. Β μιτρεῖται. |
vero B ipsum Z multiplicans ipsum A fecit ; equalis igitur est ipse ex A, E Ipsi ex B, Z ; est igitur ut A ad B ita Z ad E. Ipsi autem A, B primi, ipsi vero primi et minimi, minimi autem metiuntur zqualiter ipsos eamdem rationem ha- bentes, et major majorem, et minor minorem ; ipse B igitur ipsum E mcetitur, ut consequens consequentem. Ét quoniam A ipsos B, E multi- plicaus ipsos D, A fecit ; est igitur ut B ad E ita T ad A ; metitur autem B ipsum E ; metitur igitur et P ipsum A, major minorem, quod est impossibile ; non igitur A, B metiuntur aliquem numerum minorem existentem ipso I, quoniam A, B primi inter se sunt ; ipse I igitur minimus existens ab ipsis A, B mensuratur. |
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Μὴ ἐστωσαν δῊ οἱ Α. Β πρῶτοι πρὸς ἀλλή- 557 καὶ εἰληῷτωσαν ἐλάχιίστοι αβμιῦμοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α. Β. οἱ Ζ, . Ἐ" ἴσος αρὼ ἐστιὶν ο εκ τῶν Α. Ἑ τῷ κ τῶν Β. Ζ. Καὶιὶ Ο Α ΤΟΡ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Τ ποιείτω" καὶ οΒάρω τὸν Ζ πολλαπλασιώσας τον Τ πεγοίηκεν" |
Non sint autem A, B primi inter se, et suman- tur minimi numeri Z, E eorum eamdem rationem habenüum quam ipsi A, B ; equalis igitur est ex A, E 1psi ex B, Z. Et A ipsum E multiplicans ipsum P faciat ; et B igitur ipsum Z multiplicans ipsum Iʼ fecit. Ipsi A, B igitur ipsum Tʼ metiun- |
duira A ; donc le produit de A par E est égal au produit de B par Z ; donc 4 est à B comme Z est à E (19. 7). Mais les nombres A, B sont premiers entr’eux ; les nombres premiers sont les plus petits (25. 7) , et les plus petits mesurent également ceux qui ont une même raison, le plus grand le plus grand, et le plus peut le plus petit (21. 7) ; donc le nombre B mesure E, c’est-à-dire le conséquent le conséquent. Mais A multipliant B, E a fait r, A ; donc B est à E Comme Tr est à A (18. 7) ; mais 3 mesure E ; donc r mesure 4, le plus grand le plus peut, ce qui est impossible ; donc les nombres 4, B ne mesureront pas quelque nombre plus peut que Γ, puisque A, B sont premiers entr’eux ; donc r est le plus petit nombre qui soit mesuré par A, 8.
Que les nombres A, B ne soient pas premiers entr’eux. Prenons les plus petits nombres de ceux qui ont la même raison avec 4, B (35. 7), et que ces nombres soient LE ; le produit de A par E sera égal au produit de B par Z (19. 7). Que 4 multipliant E fasse r ; donc B multipliant Z fera r ; donc 4, B mesurent r ; je dis que rʼ est le
