LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDE. 445
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Ο δὲ Ἑ τὸν Ἡ μέτρε καὶ οἿ᾽ ἀρὼ τὸν Δ μβέτρει. ὁ μωζων τὸν ἐλωσσονῶ, ὕπερ ἐστὰν ἀδύνατον" οὐκ ἄρα οἱ Α. Β μετρήσουσέ τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα τοῦ Τ ΟΓἿΤ ἀρῶ ἐλάχιστος ὧν υπὸ τῶν Α. Β με- τρεῖταις Οἥερ ἐδει δεῖξαι. |
igitur ipsum A metitur, major minorem, quod est impossibile ; non igitur A, 8 metientur ali- quem numerum minorem ipso Iʼ ; ipse Iʼ igitur minimus existens ab A, B mensuratur. Quod oportebat ostendere. |
| ΠΡΟΥΤΑΣΙΣ λζʼ. | PROPOSITIO XXXVII. |
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Ἐὰν δὺο αρ ; θμοὶ ἀριθμὸν τένα μετρῶσι. καὶ ὃ ἐλάχιστος ὑπ αὐτῶν μετρούμενος τὸν αὐτὸν με- τρήσει. |
Si duo numeri numerum aliquem metiantur, et minimus ab illis mensuratus eumdem men- surabit. |
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Δύο γὰρ ἀρηθμοὶ οἱ Α. Β ἀριϑμόν τινα τὸν ΤΔ μετρείτωσαν, ἐλάχιστον δὲ τὸν Ἐ" λέγω ὅτι καὶ δῈ τὸν ΓΔ μετρει“. |
Duo enim numeri A, B numerum aliquem TA metiantur, minimum autem ipsum E ; dico et E ipsum IA metiri. |
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Ἐ γάρ οὐ μετρεῖ ΟῈ τονΤὰ. δ Ε τὸν Ζὰ με- τρῶν λιιπέτω ιαυτοῦ ἐλατσονας τὸν ΤΖ. Καὶ ἐπεῖ οἱ Α. Β τὸν Ε μέτρουσινγ 0 δὲ Ἑ τὸν λ2 μέετρει" καὶ οἱ Α. Β ἄρα τὸν ΔΖ μετροῦσιϊ, Μετροῦσι δὲ |
Si enim non melitur E ipsum TʼA, E mcliens ZA relinquat se ipso minorem IZ. Et quoniam À ; , Bipsum E metiuntur, ipse autem £ ipsum AZ meütur ; et A, B igitur ipsum AZ meuüun- |
donc r mesure A (déf. 20. 7), le plus grand le plus petit, ce qui est impossible ; donc les nombres 4, B ne mesurent pas quelque nombre plus petit que r ; donc r est le plus petit nombre qui soit mesuré par A, 8. Ce qu’il fallait démontrer.
Si deux nombres mesurent quelque nombre, le plus petit qu’ils mesurent mesurera ce même nombre.
Que les deux nombres 4, B mesurent quelque nombre rA, et que E soit le plus petit nombre qu’ils mesurent ; je dis que E mesure rA.
Car si E ne mesure pas TA, que E mesurant ZA laisse rz plus petit que lui-même. Puisque les nombres A, B mesurent E, que E mesure 4Z, les nombres
