|
Εστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ ὁ Α τον, ν Β πολλαπλασιασας τετράγωγνον τὸν ΄ἰ ποιείτω232. λέγω ὅτι οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί. |
Sint duo numeri A, B, etA ipsum B mul- tiplicans quadratum ipsum Γ faciat ; dico A, B similes planos esse numeros. |
| A, 6. | B, 54. | |
| Δ, 36. | Γ, 324. |
|
Ο γὼρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω » ο ὁ Δ ἀρὰ τετραγωνος ἐστι. Καὶι ἐπεί ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πε- ποίηκε, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ Πε- ποίηκεν ἐστιν ἀρὰ ὡς ο0 Α σπρος τὸον Β οὐτως ὁ Δ πρὸς τὸν Γ. Και ἐσειῖ 0 Δ σετράγωνὸς ἐστιν. ἀλλὰ καὶ ὁ Γ. οἱ Δ, Γ ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσι τὼν Δ, Γ ἀρᾶα εἰς μέσος ἀναλογον ἐμπίπστει ἀριθμόςἡ Καὶ ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Γʼὶ οὐτως ὁ Α πρὸς τὸν Βο καὶ τῶν Α, Β ἀρα εἰς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει. Ἐὰν δὲ δύο ἀριθμῶν εἰς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει, ὀμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοίΖ οἱ ἄρα Α, Β ὁὑμοιοί εἰσιν ἐπίπεδιει. Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
Ipse enim A se se multiplicans ipsum Δ fa- ciat ; ergo Δ quadratus est. Et quoniam A se ipsum quidem multiplicans ipsuni Δ fecit ; ipsum vero B multiplicans ipsum FΓ fecit ; est igitur ut A ad B ita Δ ad Γ. Et quoniam Δ qua- dratus est, sed et Γ ; ergo Δ, FΓ similes plani sunt ; inter Δ, Γ igitur unus medius proportio- tionalis cadit numerus. Atque est ut V ad Γ ita A ad B ; et inter A, B igitur unus medius proportionalis cadit. Si autem inter duos nu- mΔros unus medius proportionalis cadit, similes plani sunt numeri ; ergo A, B similes sunt plani. Quod oportebat ostendere. |
Soient les deux nombres Α, B, et que multipliant B fasse le quarré Γ ; je dis
que les nombres Α, B sont des plans semblables.
Car que Α se multipliant lui-même fasse Δ ; le nombre Δ sera un quarré. Et puisque Α se multipliant lui-même fait Δ, et que A multipliant B fait Γ, le nombre Α est à B comme Δ est à Γ (17. 7). Et puisque Δ est un quarré ainsi que Γ, les nombres Δ, Γ sont des plans semblables ; il tombe donc un nombre moyen proportionnel entre Δ et Γ (8. 8) Mais Δ est à Γ comme Α est à B ; il tombe donc un nombre moyen proportionnel entre Α et B (18. 8) . Mais si un nombre moyen proportionnel tombe entre deux nombres, ces nombres sont des plans semblables (20. 8) ; donc les nombres Α, B sont plans et semblables. Ce qu’il fallait démontrer.
