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οἱ Β, Γ πρὸς τὸν Α πρῶτοί εἰσι. Λλέγω δὰ ὅτι καὶ οἱ Α, Γ πρὸς τὸν Β πρῶτοί εἰσιν. Επεὶ γὰρ ὁ ΔΖ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΒ, ΕΖ πρῶτός ἐστινϑ ἃς τε καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΔΖ πρὸς τὸν ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ πρῶτός ἐστιν. Αλλὰ τῷ ἀπὸ τοῦ ΔΖ ἴσοι εἰσὶν οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖὑἧ καὶ οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἄρα μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸδ τῶν ΔΕ, ΕΖ πρὸς τὸν ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ πρῶτοί εἰσι. Διελόντι οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕZ μετὰ τοῦ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ πρὸς τὸν ὑπὸ τῶν7 ΔΕ, ΕΖ πρῶτοί εἰσιν" ἐτι διελόντι οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἄρα πρὸς τὸν ὑπὸ τῶνδ ΔΕ, ΕΖ πρῶτοί εἰσι. Καὶ ἔστιν. ὁ μὲν ἀπὸ τοῦ ΔΕ ὁ Α, ὁ δὲ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ 6ὁΒ, ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ ΕΖ ὁ Γύ οἱ Α, Γ ἀρα συντεθέύτες πρὸς τὸν Β πρῶτοί εἰσι. Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
ipsos B, Γad A primos esse. Dico etipsos A, ΓÀ ad B primos esse. Quoniam enim ΔAZad utrumque ipsorum ΔΕ, EZ primus est ; quare et ipse ex ΔΖ ad ipsum ex AE, EZ primus est. Sed ipsi ex ΔΖ æquales sunt ipsi ex AE, EZ cum ipso bis ex AE, ΕΖ ; et ipsi ex Ag, EZ igitur cum ipso bis ex ΔΒ, EZ ad ipsum οχ AE, EZ primi sunt. Dividendo ipsi ex AE, EZ cum ipso semel ex ΔΕ, EZ ad ipsum ex ΔΕ, EZ primi sunt ; et rursus dividendo ipsi ex AE, EZ igitur ad ipsum ex AE, EZ primi sunt. Atque est quidem ipse ex ΔΒ ipse A, ipse autem ex AE, EZ ipse B, ipse vero ex EZ ipseΓ ; ergo A, Γ compositi ad ipsum B primi sunt. Quod oportebat ostendere. |
nombres B, Γ est unnombre premier avec. A Je dis aussi que la somme des nombres
A, Γ est un nombre premier avec B. Car puisque ΔZ est un nombre premier avec
chacun des nombres ΔΕ, EZ (30. 7), le quarré de ΔΖ sera un nombre premier
avec le produit de ΔΕ par Ez (26 et 27. 7). Mais la somme des quarrés des nombres
ΔΕ, EZ, avec deux fois le produit de ΔE par EZ, est égale au quarré de wZ (4. 2) ;
donc la somme des quarrés des nombres ΔE, EZ, avec deux fois le produit de ΔΕ
par EZ, est un nombre premier avec le produit de ΔΕ par EZ ; donc, par soustraction, , la somme des quarrés des nombres ΔΕ, EZ, avec une fois le produit
de ΔΕ par EZ, est un nombre premier avec le produit de ΔE par EZ ; donc, par soustraction, la somme des quarrés des nombres ΔΕ, EZ est un nombre premier avec
le produit de ΔΕ par ΕΖ. Mais le quarré de ΔE est A, le produit de ΔE par EZ est B,
et le quarré de EZ est Γ ; donc la somme des nombres A, Γ est un nombre premier
avec B. Ce quʼil fallait démontrer.
