| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιζ'. | PROPOSITIO XVII. |
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Ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλο- γον, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὡσὶν· οὐκ ἔσται ὡς ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον ούτως ἐσχατος πρὸς ἄλλον τινα. |
Si sunt quotcunque numeri deinceps propor- tionales, extremi autem eorum primi inter se sunt ; non erit ut primus ad secundum ita ultimus ad alium aliquem. |
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Εστωσαν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἐξὴς ἀνάλο- γον, οἱ Α, Β, Γ, Δ, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν οἱ Α, Δ σρωτοι πρὸς ἀλλήλους ἐστωσανὁς λέγω οὁτι οὐκ ἐστιν ΟΑ προς τὸν Β οὐτως Ο Δ πρὸς ἄλλον τιγα. |
Sint quotcunque, numeri deinceps proportionales A, B, Γ, Δ ; extremi autem eorum ipsi A, Δ primi inter se sint ; dico non esse ut A ad B ita Δ ad alium aliquem. |
| A, 8. | B, 12. | Γ, 18. | Δ, 27. | E------- |
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Εἰ γὰρ δυνατὸν, ἔστω ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε- ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Δ οὕτως1 ὁ Β πρὸς τὸν ΒΕ. Οἱ δὲ Α, Δ πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶῶῦᾷ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν γον ἐχοντας25Ὀ ἰσάκις, ὃ, τε ἡγούμενος τὸν ηγούμενον, καὶ ὁ ἐπόμενος τὸν ἐπόμενον· μετρεῖ |
Si enim possibile, sit ut A ad B ita ΔA ad E ; alterne igitur ut A ad Δ ita B ad E. Sed A, Δ primi, primi autem et minimi, minimi vero numeri æqualiter metiuntur ipsos eamdem ratio- nem habentes, et antecedens antecedentem, et consequens consequentem ; metitur igitur |
Si tant de nombres qu’on voudra sont successivement proportiomnels, et si leurs extrêmes sont premiers entreux, le premier ne sera pas au second comme le dernier est à un autre nombre.
Soient tant de nombres qu’on voudra A, B, Γ, Δ, et que leurs extrêmes A, Δ soient premiers entr’eux ; je dis que A n’est pas à B comme Δ est à un autre nombre.
Car si cela est possible, que A soit à B comme Δ est à Ε ; par permutation A sera à Δ comme B est à E (13. 7). Mais les nombres A, Δ sont des nombres premiers, et les nombres premiers sont les plus petits (23. 7), et les nombres qui sont les plus petits mesurent également ceux qui ont la même raison avec eux, l’antécédent l’antécédent, et le conséquent le conséquent (21. 7) ; donc A mesure B.
