| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κα'. | PROPOSITIO XXI. |
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Εάν ἄρτιοι ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν, ὁ ὁλος ἀρτιὸς ἐστι. |
Si pares numeri quotcunque componuntur, totus par erit. |
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Συγκείσθωσαν γὰρ ἀρτιοι ἀριθμοὶ ὁποαοιοῦν, οἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ· λέγω ὅτι ὁλος ὁ ΑΒ ἀρ- τιὸς ἐὄστιν. |
Componantur enim pares numeri quotcunque AB, BΓ, ΓΔ, ΔE ; dico totum AE parem esse. |
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Επεὶ γὰρ ἑκαστος τῶν AΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ ἄρτιός ἐστιν ἐχει μερὸς ἡμισυ"ἧ ὥστε καὶ ὁλος ὁ ΑΕΒ ἔχει μέρος ἥμισυ. Αρτιος δὲ ἀριθμός ἐστιν ὁ δίχα διαιρούμενοςΚ ἄρτιας ἄρα ἐστὶν ὁ ΑE. Οπερ ἔδεί δεῖξαι. |
Quoniam enim unusquisque ipsorum AB, BΓ, ΓBA, ΔΕ par est, habet partem dimidiam ; quare et totus AE habet partem dimidiam. Par autem numerus est qui bifariam dividitur ; par igitur est AE. Quod oportebat ostendere. |
| ΠΡΟTΑΣΙΣ κβ'. | PROPOSITIO XXII. |
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Εὰν περισσοὶ ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσι, τδ. δὲε πλῆθος αὐτῶν ἄρτιον ἦ, ὅλος ἄρτιος ἔσται. |
Si impares numeri quotcunque componuntur, multitudo autem ipsorum par est, totus par erit. |
Si l’on ajoute tant de nombres pairs que l’on voudra, leur somme sera un nombre pair.
Ajoutons tant de nombres pairs AB, BΓ, ΓΔ, ΔΕ qu’on voudra ; je dis que leur somme AE est un nombre pair.
Puisque chacun des nombres AB, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ est un nombre pair, chacun de ces nombres peut être partagé en deux parties égales (déf. 6. 7) ; donc leur somme AE peut être partagée en deux parties égales. Mais un nombre pair est celui qui peut être partagé en deux parties égales ; le nombre AE est donc un nombre pair. Ce quʼil fallait démontrer.
Si l’on ajoute tant de nombres impairs que l’on voudra, et si leur quantité est paire, leur somme sera paire.
