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Les premiers membres sont les projections de la force, c’est-à-dire d’un vecteur, sur des axes. Dans les seconds membres, $\scriptstyle m$ et $\scriptstyle t$ sont des invariants. À quelles conditions, dans le passage de ${\rm {S}}$ à ${\rm {S^{\prime }}}$, ces seconds membres garderont-ils leur forme, c’est-à-dire seront-ils eux-mêmes des invariants ? À la condition que les dérivées secondes des seules quantités non invariantes de définition, c’est-à-dire des coordonnées, gardent leur forme, autrement dit que ces coordonnées soient liées par des fonctions linéaires en $\scriptstyle t$.

$x^{\prime }=f(x,t)^{1}$

Or on sait qu’une telle fonction définit un mouvement uniforme. Si donc, par exemple, ${\rm {S^{\prime }}}$ ayant ses axes parallèles à ceux de ${\rm {S}}$ se déplace d’un mouvement rectiligne parallèle à son axe des $\scriptstyle x$ les observateurs de ${\rm {S}}$ et ceux de ${\rm {S^{\prime }}}$ feront des calculs mécaniques tout à fait identiques. En effet, les équations fondamentales seront demeurées les mêmes pour eux.

Soit $\scriptstyle {\rm {P}}xyz,x^{\prime }y^{\prime }z^{\prime }$ le point matériel objet de leurs observations et de leurs calculs :

Les mécaniciens ${\rm {S}}$ écriront ses équations fondamentales

${\rm {X}}=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},{\rm {Y}}=m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},{\rm {Z}}=m{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}.$

Les mécaniciens ${\rm {S^{\prime }}}$ les écriront

${\rm {X}}=m{\frac {d^{2}x^{\prime }}{dt^{2}}},{\rm {Y}}=m{\frac {d^{2}y^{\prime }}{dt^{2}}},{\rm {Z}}=m{\frac {d^{2}z^{\prime }}{dt^{2}}}.$