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De même que nous nous sommes servis des équations de la dynamique pour faire apparaître le principe de la relativité newtonien sous la forme mathématique, utilisons cette loi physique pour mettre en évidence le principe einsteinien.

Soient deux systèmes ${\rm {S,S^{\prime }}}$ en mouvement relatif rectiligne et uniforme. Supposons que l’on émette un signal lumineux à l’origine commune des coordonnées à l’instant zéro. Nous ne faisons bien entendu aucune des hypothèses restrictives de Newton sur le temps et la masse. Le même signal réel dans un seul état est reporté par les observateurs de ${\rm {S}}$ et ceux de ${\rm {S^{\prime }}}$ à la sphère sur laquelle il se trouve. Soit :

pour ${\rm {S}}$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2}$

pour ${\rm {S^{\prime }}}$ $x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}=c^{2}t^{\prime 2}$

Or, d’après le principe d’Einstein, les équations ne doivent pas changer de forme quand on passe de ${\rm {S}}$ à ${\rm {S^{\prime }}}$. Nous aurons donc l’identité

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}\equiv x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^{2}t^{\prime 2}$

Nous avons ainsi une des relations entre les coordonnées dans ${\rm {S}}$ et celles dans ${\rm {S^{\prime }}}$. Nous savons d’autre part que les coordonnées dans ${\rm {S}}$ sont des fonctions linéaires de celles dans ${\rm {S^{\prime }}}$ puisque les deux systèmes sont en mouvement relatif rectiligne et uniforme ; de ce fait les