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à celle entre $z$ et $z^{\prime }$ puisque les directions des axes des $y$ et des $z$ sont arbitraires et peuvent être changées.

Il nous reste donc :

${\begin{array}{l}x^{\prime }=a_{11}x+a_{14}t\\y^{\prime }=a_{21}y\\z^{\prime }=a_{31}z\\t^{\prime }=a_{41}x+a_{42}y+a_{43}z+a_{44}t\end{array}}$

Nous pouvons facilement déterminer $a_{21}$ ; il suffit de nous rappeler que les coefficients de $y$ et de $y^{\prime }$ doivent se correspondre en changeant le signe de $v$ ; il faut donc que la fonction que sont les coefficients soit de degré zéro en $v$ ; et même, soit l’unité. Donc $a_{21}=1$

d’où   ${\begin{array}{r}y^{\prime }=y\\z^{\prime }=z\end{array}}$

Enfin du groupe

${\begin{array}{l}x^{\prime }=0\\x^{\prime }=vt\\x^{\prime }=a_{11}x+a_{14}t.\end{array}}$

Nous tirons

${\begin{array}{c}x^{\prime }=a_{11}(x-vt).\end{array}}$

Portons ces diverses expressions des coordonnées $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t^{\prime }$, dans notre identité ; il vient :

${\begin{array}{c}a_{11}^{2}(x-vt)^{2}+y^{2}+z^{2}+c^{2}(a_{41}x+a_{42}y+a_{43}z+a_{44}t)^{2}\\=x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}.\end{array}}$