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L’équation riemannienne s’écrira par suite :

$ds^{2}=g_{11}dx_{1}^{2}+g_{22}dx_{2}^{2}+g_{33}dx_{3}^{2}+g_{44}dx_{4}^{2}+2g_{12}dx_{1}dx_{2}$

$+2g_{13}dx_{1}dx_{3}+2g_{14}dx_{1}dx_{4}+2g_{23}dx_{2}dx_{3}$ $+2g_{24}dx_{2}dx_{4}+2g_{34}dx_{3}dx_{4},$

où les $\scriptstyle g$ sont, on le voit, des fonctions des coordonnées primitives et dépendent de la transformation.

C’est entre ces $\scriptstyle g$ que nous devons établir notre relation intrinsèque exprimant la loi de la gravitation universelle.

C’est ici que l’ingéniosité d’Einstein apparaît. Nous avons vu que le passage d’un système d’axes à un autre en mouvement par rapport au premier peut s’exprimer comme une rotation d’axe. Cherchons donc le $\scriptstyle ds^{2}$ correspond à un continu tournant autour d’un axe. Autrement dit, écrivons les formules de transformation suivantes :

${\begin{array}{l}x=f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=x_{1}\cos wx_{4}-x_{2}\sin wx_{4},\\y=f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=x_{1}\sin wx_{4}+x_{2}\cos wx_{4},\\z=x_{3},\\t=x_{4}.\end{array}}$

Nous en tirons par dérivation

${\begin{array}{l}dx=\cos wx_{4}dx_{1}-\sin wx_{4}dx_{2}\\\qquad -w(x_{1}\sin wx_{4}+x_{2}\cos wx_{4})dx_{4},\\dy=\sin wx_{4}dx_{1}+\cos wx_{4}dx_{2}\\\qquad +w(x_{1}\cos wx_{4}-x_{2}\sin wx_{4})dx_{4},\\dz=dx_{3},\\dt=dx_{4}.\end{array}}$