Page:Fabre - Une nouvelle figure du monde. Les Théories d’Einstein.djvu/200

ou moins importante des coefficients différentiels de divers ordres des $\scriptstyle g$.

B. Voyons maintenant sommairement comment s’obtient la loi relative au champ d’une particule.

De l’équation

$\delta \int {ds}=0,$

où

${\overline {ds^{2}}}=\sum _{1}^{4}g_{\mu \nu }dx_{\mu }dx_{\nu },$

on tire par développement les quatre fonctions différentielles :

${\frac {d^{2}x^{\sigma }}{ds^{2}}}=\sum _{\mu \nu }\Gamma _{\mu \nu }^{\delta }{\frac {dx_{\mu }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}},(\sigma =1,2,3,4)$

avec

$\Gamma _{\mu \nu }^{\delta }=-{\frac {1}{2}}\Sigma g^{\mu \nu }\left({\frac {\delta g_{\mu \alpha }}{\delta x_{\nu }}}+{\frac {\delta g_{\nu \alpha }}{\delta x_{\mu }}}-{\frac {\delta g_{\mu \nu }}{\delta x_{\alpha }}}\right).$

Ce sont là les équations du mouvement d’une particule matérielle dans le champ de gravitation des $\scriptstyle g_{\mu \nu }$.

(Noter que dans la symbolique employée par Einstein $\scriptstyle g^{\sigma \alpha }$ est le déterminant mineur de $\scriptstyle g_{\sigma \alpha }$.)

Le potentiel de gravitation comprend alors dix équations différentielles définies par :

$\sum _{\alpha }{\frac {d\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }}{dx_{\alpha }}}+\sum _{\alpha \beta }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \beta }^{\beta }=k\left({\rm {T}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }{\rm {T}}\right),$

$\scriptstyle {\rm {T}}_{\mu \nu }$ et $\scriptstyle {\rm {T}}$ étant des expressions liées aux composantes d’un certain tenseur énergie qui a, dans la détermination du champ, la valeur de la densité de masse dans les équations newtoniennes ; $\scriptstyle k$ étant la constante de gravitation.