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CHAPITRE III.

SECTION V.

Expression finie du résultat de la solution.

205.

On pourrait déduire la solution précédente de l’intégrale de l’équation ${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}=0,$ qui contient des quantités imaginaires, sous le signe des fonctions arbitraires. Nous nous bornerons ici à faire remarquer que cette intégrale

$v=\varphi (x+y{\sqrt {-1}})+\psi (x-y{\sqrt {-1}})$

a une relation manifeste avec la valeur de $v$ donné par l’équation

${\frac {\pi \,v}{4}}=e^{-x}\cos .y-{\frac {1}{3}}e^{-3x}\cos .3y+{\frac {1}{5}}e^{-5x}\cos .5y-\mathrm {etc.}$

En effet, en remplaçant les cosinus par leurs expressions imaginaires, on a

${\frac {\pi \,v}{4}}={\begin{aligned}&e^{-(x-y{\sqrt {-1}})}-{\frac {1}{3}}e^{-3(x-y{\sqrt {-1}})}+{\frac {1}{5}}e^{-5(x-y{\sqrt {-1}})}-\mathrm {etc.} \\+&e^{-(x+y{\sqrt {-1}})}-{\frac {1}{3}}e^{-3(x+y{\sqrt {-1}})}+{\frac {1}{5}}e^{-5(x+y{\sqrt {-1}})}-\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

La première série est une fonction de $x-y{\sqrt {-1}},$ et la seconde est la même fonction de $x+y{\sqrt {-1}}.$

En comparant ces séries au développement connu de l’arc $\mathrm {arc.tang.} z$ en fonction de $z$ sa tangente, on voit sur-le-