209.
Il reste donc à déterminer les valeurs de
etc. ;
la première est donnée par une équation, dans laquelle
entre
la seconde est donnée par deux équations dans
lesquelles entrent
la troisième est donnée par trois
équations, dans lesquelles entrent
ainsi de suite. Il
suit de là que si l’on connaissait les valeurs de
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}\;\mathrm {A} _{2}\mathrm {B} _{2}\;\mathrm {A} _{3}\mathrm {B} _{3}\mathrm {C} _{3}\;\mathrm {A} _{4}\mathrm {B} _{4}\mathrm {C} _{4}\mathrm {D} _{4}\dots \mathrm {etc.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d66b79c05bbd41549228e351720060e5fd2d048)
on trouverait facilement
_1 en résolvant une équation,
en résolvant deux équations,
en résolvant trois équations,
ainsi de suite ; après quoi on déterminerait
etc. Il s’agit maintenant de calculer les valeurs de
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}\;\mathrm {A} _{2}\mathrm {B} _{2}\;\mathrm {A} _{3}\mathrm {B} _{3}\mathrm {C} _{3}\;\mathrm {A} _{4}\mathrm {B} _{4}\mathrm {C} _{4}\mathrm {D} _{4}\;\mathrm {A} _{5}\mathrm {B} _{5}\mathrm {C} _{5}\mathrm {D} _{5}\mathrm {E} _{5}\;\mathrm {etc.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8bf2fac23b27e3bf4b247cd33bfec673abda475)
au moyen des équations
1o on trouvera la valeur de
en
et
2o par deux substitutions on trouvera cette valeur
de
en
3o par trois substitutions on trouvera
la même valeur de
en
, ainsi de suite. Ces valeurs successives de
sont :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} _{1}&=\mathrm {A} _{2}\,2^{2}-\mathrm {B} _{2}\\\mathrm {A} _{1}&=\mathrm {A} _{3}\,2^{2}.3^{2}-\mathrm {B} _{3}(2^{2}+3^{2})+\mathrm {C} _{3}\\\mathrm {A} _{1}&=\mathrm {A} _{4}\,2^{2}.3^{2}.4^{2}-\mathrm {B} _{4}(2^{2}.3^{2}+2^{2}.4^{2}+3^{2}.4^{2})+\mathrm {C} _{4}(2^{2}+3^{2}+4^{2})-\mathrm {D} _{4}\\\mathrm {A} _{1}&=\mathrm {A} _{5}\,2^{2}.3^{2}.4^{2}.5^{2}-\mathrm {B} _{5}(2^{2}.3^{2}.4^{2}+2^{2}.3^{2}.5^{2}+2^{2}.4^{2}.5^{2}+3^{2}.4^{2}.5^{2})\\&+\mathrm {C} _{5}(2^{2}.3^{2}+2^{2}.4^{2}+2^{2}.5^{2}+3^{2}.4^{2}+3^{2}.5^{2}+4^{2}.5^{2})-\mathrm {D} _{5}(2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2})+\mathrm {E} _{5},\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {etc.} ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73c53a02a642ba6263c618c0b3bc6951a7eab04e)
dont il est aisé de remarquer la loi. La dernière de ces valeurs,
qui est celle que l’on veut déterminer, contient les