au moyen de cette réduction on donnera à l’équation (A)
la forme suivante :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\pi \varphi x=\sin .x&\left\{\varphi \pi -{\frac {1}{1^{2}}}\varphi ^{II}\pi +{\frac {1}{1^{4}}}\varphi ^{IV}\pi -{\frac {1}{1^{6}}}\varphi ^{VI}\pi +\mathrm {etc.} \right\}&\\-{\frac {1}{2}}\sin .2x&\left\{\varphi \pi -{\frac {1}{2^{2}}}\varphi ^{II}\pi +{\frac {1}{2^{4}}}\varphi ^{IV}\pi -{\frac {1}{2^{6}}}\varphi ^{VI}\pi +\mathrm {etc.} \right\}&\\+{\frac {1}{3}}\sin .3x&\left\{\varphi \pi -{\frac {1}{3^{2}}}\varphi ^{II}\pi +{\frac {1}{3^{4}}}\varphi ^{IV}\pi -{\frac {1}{3^{6}}}\varphi ^{VI}\pi +\mathrm {etc.} \right\}&\\-{\frac {1}{4}}\sin .4x&\left\{\varphi \pi -{\frac {1}{4^{2}}}\varphi ^{II}\pi +{\frac {1}{4^{4}}}\varphi ^{IV}\pi -{\frac {1}{4^{6}}}\varphi ^{VI}\pi +\mathrm {etc.} \right\}&\\+\mathrm {etc.} \qquad &&\!(\mathbf {B} )\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae945331f2475056efce657e22ce88c0fcbe7b02)
ou celle-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\pi \varphi x=\varphi \;\;\pi &\left\{\sin .x-{\frac {1}{2}}\;\,\sin .2x+{\frac {1}{3}}\;\,\sin .3x-\mathrm {etc.} \right\}&\\-\varphi ^{II}\pi &\left\{\sin .x-{\frac {1}{2^{3}}}\sin .2x+{\frac {1}{3^{3}}}\sin .3x-\mathrm {etc.} \right\}&\\+\varphi ^{IV}\pi &\left\{\sin .x-{\frac {1}{2^{5}}}\sin .2x+{\frac {1}{3^{5}}}\sin .3x-\mathrm {etc.} \right\}&\\-\varphi ^{VI}\pi &\left\{\sin .x-{\frac {1}{2^{7}}}\sin .2x+{\frac {1}{3^{7}}}\sin .3x-\mathrm {etc.} \right\}&\\+\mathrm {etc.} \;\;\;&&\!(\mathbf {C} )\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd1d0cf5239092b05c57cf6cfeb29c71d722488d)
218.
On peut appliquer l’une ou l’autre de ces formules, toutes
les fois que l’on aura à développer une fonction proposée,
en une série de sinus d’arcs multiples. Si par exemple la
fonction proposée est
dont le développement ne
contient que des puissances impaires de
on aura