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THÉORIE DE LA CHALEUR.

au moyen de cette réduction on donnera à l’équation (A) la forme suivante :

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\pi \varphi x=\sin .x&\left\{\varphi \pi -{\frac {1}{1^{2}}}\varphi ^{II}\pi +{\frac {1}{1^{4}}}\varphi ^{IV}\pi -{\frac {1}{1^{6}}}\varphi ^{VI}\pi +\mathrm {etc.} \right\}&\\-{\frac {1}{2}}\sin .2x&\left\{\varphi \pi -{\frac {1}{2^{2}}}\varphi ^{II}\pi +{\frac {1}{2^{4}}}\varphi ^{IV}\pi -{\frac {1}{2^{6}}}\varphi ^{VI}\pi +\mathrm {etc.} \right\}&\\+{\frac {1}{3}}\sin .3x&\left\{\varphi \pi -{\frac {1}{3^{2}}}\varphi ^{II}\pi +{\frac {1}{3^{4}}}\varphi ^{IV}\pi -{\frac {1}{3^{6}}}\varphi ^{VI}\pi +\mathrm {etc.} \right\}&\\-{\frac {1}{4}}\sin .4x&\left\{\varphi \pi -{\frac {1}{4^{2}}}\varphi ^{II}\pi +{\frac {1}{4^{4}}}\varphi ^{IV}\pi -{\frac {1}{4^{6}}}\varphi ^{VI}\pi +\mathrm {etc.} \right\}&\\+\mathrm {etc.} \qquad &&\!(\mathbf {B} )\\\end{aligned}}$

ou celle-ci

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\pi \varphi x=\varphi \;\;\pi &\left\{\sin .x-{\frac {1}{2}}\;\,\sin .2x+{\frac {1}{3}}\;\,\sin .3x-\mathrm {etc.} \right\}&\\-\varphi ^{II}\pi &\left\{\sin .x-{\frac {1}{2^{3}}}\sin .2x+{\frac {1}{3^{3}}}\sin .3x-\mathrm {etc.} \right\}&\\+\varphi ^{IV}\pi &\left\{\sin .x-{\frac {1}{2^{5}}}\sin .2x+{\frac {1}{3^{5}}}\sin .3x-\mathrm {etc.} \right\}&\\-\varphi ^{VI}\pi &\left\{\sin .x-{\frac {1}{2^{7}}}\sin .2x+{\frac {1}{3^{7}}}\sin .3x-\mathrm {etc.} \right\}&\\+\mathrm {etc.} \;\;\;&&\!(\mathbf {C} )\\\end{aligned}}$

218.

On peut appliquer l’une ou l’autre de ces formules, toutes les fois que l’on aura à développer une fonction proposée, en une série de sinus d’arcs multiples. Si par exemple la fonction proposée est $e^{x}-e^{-x},$ dont le développement ne contient que des puissances impaires de $x,$ on aura