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CHAPITRE III.
en remarquant que la fonction
ne contient que des puissances
impaires de la variable et en prenant l’intégrale depuis
jusqu’à ![{\displaystyle x=\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b3523ecd4e861bc80ed1a0c4f66cf8e09b12170)
On en conclut immédiatement que ce terme équivaut à
![{\displaystyle \pm \left(\varphi \pi -\varphi ^{II}\pi \!\cdot \!{\frac {1}{n^{2}}}+\varphi ^{IV}\pi \!\cdot \!{\frac {1}{n^{4}}}-\varphi ^{VI}\pi \!\cdot \!{\frac {1}{n^{6}}}+\varphi ^{VIII}\pi \!\cdot \!{\frac {1}{n^{8}}}+\mathrm {etc.} \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6df9580cac3599de7156a2f864dbab519e4298f1)
Si l’on substitue cette valeur de
dans l’équation (B), en
prenant le signe
lorsque le terme de cette équation est de
rang impair, et le signe
lorsque
est pair ; on aura en
général
pour le coëfficient de
on
parvient de cette manière à un résultat très-remarquable
exprimé par l’équation suivante :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\pi \varphi x=\sin .x\,\mathrm {S} (\sin .x.\varphi x.dx)+\sin .2x\,\mathrm {S} (\sin .2x.\varphi x\,dx)&\\\quad +\sin .3x\,\mathrm {S} (\sin .3x.\varphi x\,dx)\dots +\sin .ix\,\mathrm {S} (\sin .ix.\varphi x\,dx)&+\mathrm {etc.} \,;\\&(\mathbf {D} )\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2620a2e2d879154931a1659d72715efd5dbc44)
le second membre donnera toujours le développement cherché
de la fonction
si l’on effectue les intégrations depuis
jusqu’à ![{\displaystyle x=\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b3523ecd4e861bc80ed1a0c4f66cf8e09b12170)
220.
On voit par-là que les coëfficients
etc., qui
entrent dans l’équation
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi \varphi x=a\sin .x+b\sin .2x+c\sin .3x+d\sin .4x+\mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d578b4ffba9801aa4c2cd211f3b62020672552d)
et que nous avons trouvés précédemment par la voie des éliminations
successives, sont des valeurs intégrales définies
exprimées par le terme général
étant
le numéro du terme dont on cherche le coëfficient. Cette