distance du point m à l’extrémité O de l’arête A, dont la
longueur totale est
soit
la température constante du
point m, dont les coordonnées sont
et
il s’agit de déterminer
en une fonction de
et
La valeur
![{\displaystyle v=ae^{-my}\sin .mx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a7cd7a8af974e02cf94ed45c97c736876e36068)
satisfait à l’équation
et
sont des quantités
quelconques. Si l’on prend
, et que
soit un
nombre entier, la valeur
deviendra nulle,
lorsque
quelle que soit d’ailleurs la valeur de
On
pourra donc prendre pour une valeur plus générale de
![{\displaystyle v=a_{1}e^{-\pi {\frac {y}{r}}}\sin .\left(\pi {\frac {x}{r}}\right)+a_{2}e^{-2\pi {\frac {y}{r}}}\sin .\left(2\pi {\frac {x}{r}}\right)+a_{3}e^{-3\pi {\frac {y}{r}}}\sin .\left(3\pi {\frac {x}{r}}\right)+\mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2b26edc091366a733bd3b01f8dbfa0a8843929)
Si l’on suppose
nulle, la valeur de
sera d’après l’hypothèse
égale à la fonction connue,
On aura donc
![{\displaystyle fx=a_{1}\sin .\!\left(\pi {\frac {x}{r}}\right)+a_{2}\sin .\!\left(2\pi {\frac {x}{r}}\right)+a_{3}\sin .\!\left(3\pi {\frac {x}{r}}\right)+a_{4}\sin .\!\left(4\pi {\frac {x}{r}}\right)+\mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7416a23758888c99021c535373056362e37aa246)
On déterminera les coëfficients
etc., au moyen
de l’équation (M), et en les substituant dans la valeur de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}rv=e^{-\pi {\frac {y}{r}}}\sin .\!\left(\pi {\frac {x}{r}}\right)\!\int \!fx\sin .\!\left(\pi {\frac {x}{r}}\right)\,dx+e^{-2\pi {\frac {y}{r}}}\sin .\!\left(2\pi {\frac {x}{r}}\right)\!\int \!fx\sin .\!\left(2\pi {\frac {x}{r}}\right)\,dx&\\+e^{-3\pi {\frac {y}{r}}}\sin .\!\left(3\pi {\frac {x}{r}}\right)\!\int \!fx\sin .\!\left(3\pi {\frac {x}{r}}\right)\,dx+\mathrm {etc.} &\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ddfbde4f845a26c31e82e5c5c22a401a1263dd6)