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CHAPITRE IV.

245.

6^o La chaleur tend à se distribuer dans l’anneau, suivant une loi qui doit être remarquée. Plus le temps écoulé augmente et plus les termes qui composent la valeur de $v$ dans l’équation (E) deviennent petits par rapport à ceux qui les précèdent. Il y a donc une certaine valeur de $t$ pour laquelle le mouvement de la chaleur commence à être sensiblement représenté par l’équation

$u=a_{0}+\left(a_{1}\sin .{\frac {x}{r}}+b_{1}\cos .{\frac {x}{r}}\right)e^{-{\frac {kt}{r^{2}}}}.$

Cette même relation continue à subsister pendant la durée infinie du refroidissement. Si dans cet état on choisit deux points de l’anneau, situés aux deux extrémités d’un même diamètre ; en représentant par $x_{1}$ et $x_{2}$ leurs distances respectives à l’origine, par $v_{1}$ et $v_{2}$ leurs températures correspondantes au temps $t\,;$ on aura

${\begin{aligned}v_{1}&=\left(a_{0}+\left(a_{1}\sin .{\frac {x_{1}}{r}}+b_{1}\cos .{\frac {x_{1}}{r}}\right)e^{-{\frac {kt}{r^{2}}}}\right)e^{-ht}\\v_{2}&=\left(a_{0}+\left(a_{1}\sin .{\frac {x_{2}}{r}}+b_{1}\cos .{\frac {x_{2}}{r}}\right)e^{-{\frac {kt}{r^{2}}}}\right)e^{-ht}\\\end{aligned}}$

Les sinus des arcs ${\frac {x_{1}}{r}}$ et ${\frac {x_{2}}{r}}$ ne diffèrent que par le signe, et il en est de même des quantités $\cos .{\frac {x_{1}}{r}}$ et $\cos .{\frac {x_{2}}{r}}\,;$ donc

${\frac {v_{1}+v_{2}}{2}}=a\,e^{-ht},$

ainsi la demi-somme des températures des points opposés donne une quantité $a\,e^{-ht}$ qui serait encore la même si