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THÉORIE DE LA CHALEUR.
dans lesquels l’ordonnée varie avec la distance
proportionnellement
au quotient du sinus par l’arc. Le mouvement
général de la chaleur dans l’intérieur de la sphère, sera alors
décomposé en autant de mouvements particuliers dont
chacun s’accomplira librement comme s’il était seul.
Désignant par
etc. les quantités qui satisfont
à l’équation
et que l’on suppose
rangées par ordre, en commençant par la plus petite ; on
formera l’équation générale
![{\displaystyle vx=a_{1}e^{-kn_{1}^{2}t}\sin .n_{1}x+a_{2}e^{-kn_{2}^{2}t}\sin .n_{2}x+a_{3}e^{-kn_{3}^{2}t}\sin .n_{3}x+\mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/068c8b1fb36fdcbf826236a3ab84330ceab95af1)
Si l’on fait
on aura pour exprimer l’état initial des
températures
![{\displaystyle xv=a_{1}\sin .n_{1}x+a_{2}\sin .n_{2}x+a_{3}\sin .n_{3}x+a_{4}\sin .n_{4}x+\mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61f1a069a50d7c9d0e409663100ee61924d7ac30)
La question consiste à déterminer, quel que soit l’état
initial, les coëfficients
etc. Supposons donc que
l’on connaisse les valeurs de
depuis
jusqu’à
et représentons ce système de valeurs par
; on aura
![{\displaystyle \mathrm {F} x={\frac {1}{x}}\left(a_{1}\sin .n_{1}x+a_{2}\sin .n_{2}x+a_{3}\sin .n_{3}x+a_{4}\sin .n_{4}x+\mathrm {etc.} \right)\;\;({\boldsymbol {e}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2663fbb3f24cdbc33665467cb91eda06b978a537)
291.
Pour déterminer le coëfficient
on multipliera les deux
nombres de l’équation par
et l’on intégrera
depuis
jusqu’à
L’intégrale
prise entre ces limites, est
![{\displaystyle {\frac {1}{m^{2}-n^{2}}}\left(-m\sin .n\mathrm {X} \cos .m\mathrm {X} +n\sin .m\mathrm {X} \cos .n\mathrm {X} \right)\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe5ac780c556f2e45e1590e8d585d1835efc2ab)