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CHAPITRE VI.

fonction de $\theta$, on aura $u+{\frac {du}{d\theta }}+\theta {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}=0$. La valeur suivante,

$u=1-\theta +{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}-\mathrm {etc.}$

satisfait à l’équation en $u$ et $\theta$, on prendra donc pour valeur de $u$ en $x$ celle-ci,

$u=1-{\frac {m}{k}}\cdot {\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {m^{2}}{k^{2}}}\cdot {\frac {x^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {m^{3}}{k^{3}}}\cdot {\frac {x^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\mathrm {etc.} ,$

la somme de cette série est

${\frac {1}{\pi }}\int \cos .\left(x{\sqrt {\tfrac {m}{k}}}\sin .r\right)\,dr$ ;

l’intégrale étant prise depuis $r=0$ jusqu’à $r=\pi$. Cette valeur de $u$ en $x$ et $m$ satisfait à l’équation différentielle, et observe une valeur finie lorsque $x$ est nulle. De plus, l’équation ${\frac {h}{k}}u+{\frac {du}{dx}}=0$ doit être satisfaite lorsque $x=\mathrm {X}$ rayon du cylindre. Cette condition n’aurait pas lieu, si l’on donnait à la quantité $m$ qui entre dans la fonction $u$ une valeur quelconque ; il faut que l’on ait l’équation

${\frac {h\mathrm {X} }{2}}={\frac {\theta }{1-\displaystyle {\frac {\theta }{2-\displaystyle {\frac {\theta }{3-\displaystyle {\frac {\theta }{4-\displaystyle {\frac {\theta }{5-\mathrm {etc.} }}}}}}}}}}$

dans laquelle $\theta$ désigne ${\frac {m}{k}}{\frac {\mathrm {X} ^{2}}{2^{2}}}$. Cette équation déterminée qui équivaut à la suivante :