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THÉORIE DE LA CHALEUR.

pourraient être réunis en un seul, et l’on obtiendrait pour l’intégrale cherchée $\textstyle \int \sigma .u\,dx$ une valeur qui ne contiendrait que des quantités déterminées, et aucun signe d’intégration ; Il ne resterait plus qu’à égaler cette valeur à zéro.

Supposons donc que le facteur $\sigma$ satisfasse à l’équation différentielle du second ordre ${\frac {n}{k}}\sigma +{\frac {d^{2}\sigma }{dx^{2}}}-{\frac {d\left({\frac {\sigma }{x}}\right)}{dx}}=0$ de même que la fonction $u$ satisfait à l’équation

${\frac {m}{k}}u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {du}{dx}}=0,$

$m$ et $n$ étant des coëfficients constants, on aura

${\frac {n-m}{k}}\int \sigma u\,dx=\left({\frac {du}{dx}}\sigma -u{\frac {d\sigma }{dx}}+u{\frac {\sigma }{x}}\right)_{\omega }-\left({\frac {du}{dx}}\sigma -u{\frac {d\sigma }{dx}}+u{\frac {\sigma }{x}}\right)_{\alpha }.$

Il existe entre $u$ et $\sigma$ une relation très-simple qui se découvre, lorsque dans l’équation ${\frac {n}{k}}\sigma +{\frac {d^{2}\sigma }{dx^{2}}}-{\frac {d\left({\frac {\sigma }{x}}\right)}{dx}}=0$, on suppose $\sigma =x\,s$ ; on a, par le résultat de cette substitution, l’équation ${\frac {n}{k}}\,s+{\frac {d^{2}s}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {ds}{dx}}=0$, ce qui fait voir que la fonction $s$ dépend de la fonction $u$ donnée par l’équation

${\frac {m}{k}}u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {du}{dx}}=0.$

Il suffit pour trouver $s$ de changer $m$ en $n$ dans la valeur de $u$ ; on a désigné cette valeur de $u$ par $\textstyle \psi \left({\sqrt {\frac {m}{k}}}\right)$ celle de $\sigma$ sera donc $\textstyle x\,\psi \left({\sqrt {\frac {n}{k}}}\right)$.

On aura maintenant ${\frac {du}{dx}}\sigma +u{\frac {d\sigma }{dx}}+u{\frac {\sigma }{x}}=$