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THÉORIE DE LA CHALEUR.

tous les termes qui entrent dans la valeur de ${\sqrt[{3}]{\overset {\;}{v}}}$ sont positifs.

340.

Proposons nous maintenant de comparer la vitesse du refroidissement dans le cube, à celle que l’on a trouvée pour une masse sphérique. On a vu que pour l’un et l’autre de ces corps, le système des températures converge vers un état durable qu’il atteint sensiblement après un certain temps ; alors les températures des différents points du cube diminuent toutes ensemble en conservant les mêmes rapports, et celles d’un seul de ces points décroissent comme les termes d’une progression géométrique dont la raison n’est pas la même dans les deux corps. Il résulte des deux solutions que pour la sphère la raison est $e^{-kn^{2}}$ et pour le cube $e^{-3{\frac {\varepsilon ^{2}}{a^{2}}}k}.$ La quantité $n$ est donnée par l’équation

$n\,a\,{\frac {\cos .na}{\sin .na}}=1-{\frac {h}{\mathrm {K} }}a,$

$a$ étant le demi-diamètre de la sphère, et la quantité $\varepsilon$ est donnée par l’équation $e\,\mathrm {tang.} \varepsilon ={\frac {h}{\mathrm {K} }}a,$ $a$ étant le demi-côté du cube.

Cela posé, on considérera deux cas différents ; celui où le rayon de la sphère et le demi-côté du cube, sont l’un et l’autre égaux à $a$, quantité très-petite ; et celui où la valeur de $a$ est très-grande. Supposons d’abord que les deux corps ont une petite dimension ; ${\frac {ha}{\mathrm {K} }}$ ayant une très-petite valeur, il en sera de même de $\varepsilon$, on aura donc ${\frac {ha}{\mathrm {K} }}=\varepsilon ^{2},$ donc la fraction