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THÉORIE DE LA CHALEUR.
la température
d’un point dont la distance à l’origine
est
On considérera d’abord la barre échauffée comme ayant
une longueur finie
, et comme étant soumise à une cause
extérieure quelconque qui retient ses deux extrémités à la
température constante 0 ; on fera ensuite
352.
On emploiera d’abord l’équation
![{\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=\mathrm {\frac {K}{C.D}} .{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-\mathrm {\frac {C.D.S}{H\,L}} v\,;\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edce2a9b5b30ce7c6ce095e834a53afe601cb5c0)
ou
![{\displaystyle \quad {\frac {dv}{dt}}=k{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-h\,v,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c59b59051afc67cd359b6a8ed13a340dd47e2561)
et faisant
![{\displaystyle v=e^{-ht}.u\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/790f1954e6a44c808917a767f4c22f7ffbe5ea21)
on aura
![{\displaystyle \quad {\frac {du}{dt}}=k{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3700d405f0d439ecf5256d04672219e03eaf26b4)
on exprimera comme il suit la valeur générale de
![{\displaystyle {\begin{aligned}u&=a_{1}\,e^{-kg_{1}^{\;2}t}\sin .g_{1}x+a_{2}\,e^{-kg_{2}^{\;2}t}\sin .g_{2}x\\&+a_{3}\,e^{-kg_{3}^{\;2}t}\sin .g_{3}x+a_{4}\,e^{-kg_{4}^{\;2}t}\sin .g_{4}x+\mathrm {etc.} \,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24f41d1d3909f478ac4034ce2840a438fbf29b0e)
faisant ensuite
ce qui doit rendre nulle la valeur de
, on aura, pour déterminer la série des exposants
, la condition
ou
étant un nombre
entier. Donc
![{\displaystyle u=a_{1}\,e^{-k{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X} ^{2}}}t}\sin .\left(x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+a_{2}\,e^{-k{\frac {4\pi ^{2}}{\mathrm {X} ^{2}}}t}\sin .\left(2x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+\mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6ef0e0a86ae9f486883ecb12c876d50831aec3)
Il ne reste plus qu’à trouver la série des constantes
etc. Faisant
on a
![{\displaystyle u=\mathrm {F} x=a_{1}\sin .\left(x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+a_{2}\sin .\left(2x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+a_{3}\sin .\left(3x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+\mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2fd3647bbe7410ceec5c1ce4f4fad762fe9ea83)