Page:Fourier - Théorie analytique de la chaleur, 1822.djvu/483

451

CHAPITRE IX.

tranche A à une température constante, tandis qu’une partie de la chaleur communiquée se dissipe par la surface extérieure. Il s’agit de déterminer l’état du prisme après un temps donné, ce qui est l’objet de la seconde question que nous nous sommes proposée. En désignant par 1 la température constante de l’extrémité A, par 0 celle du milieu, on aura $e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {HL} }{\mathrm {KS} }}}}$ pour l’expression de la température finale du point situé à la distance $x$ de cette extrémité, ou seulement $e^{-x}$ en supposant, pour simplifier le calcul, que la quantité ${\frac {\mathrm {HL} }{\mathrm {K.S} }}$ soit égale à l’unité. Désignant par $v$ la température variable du même point après le temps écoulé $t,$ on a, pour déterminer $v$ cette équation

${\frac {dv}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-{\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {C.D.S} }}\cdot v,$

soit maintenant $\qquad \qquad e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {HL} }{\mathrm {KS} }}}}+u',$

on aura $\;{\frac {du'}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-{\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {C.D.S} }},\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {du'}{dt}}=k{\frac {d^{2}u'}{dx^{2}}}-hu',$

en remplaçant ${\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}$ par $k$ et ${\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {C.D.S} }}$ par $h.$ Si l’on fait

$u'=e^{-ht}u\quad \mathrm {on} \;\mathrm {a} \quad {\frac {du}{dt}}=k{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\,;$

la valeur de $u$ ou $v-e^{-x{\sqrt {\frac {\mathrm {HL} }{\mathrm {K.S} }}}}$ en celle de la différence entre la température actuelle et la température finale ; cette différence $u,$ qui tend de plus en plus à s’évanouir, et dont la dernière valeur est nulle équivaut d’abord à

$\mathrm {F} x-e^{-x{\sqrt {\frac {h}{k}}}},$