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THÉORIE DE LA CHALEUR.

en faisant $r=q+{\sqrt {ht}}.$ L’intégrale doit être prise depuis

$q={\frac {-x}{2{\sqrt {kt}}}}\quad \mathrm {jusqu'{\grave {a}}} \quad q={\tfrac {1}{0}},$

ou depuis $\quad ir={\sqrt {ht}}-{\frac {x}{2{\sqrt {kt}}}}\quad \mathrm {jusqu'{\grave {a}}} \quad r={\tfrac {1}{0}}\cdot$

La seconde partie de la valeur de $v$ est

${\frac {e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}\,e^{x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}\int dq\,e^{-q^{2}}.e^{2q{\sqrt {ht}}}\quad \mathrm {ou} \quad e^{x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}\int dr\,e^{-r^{2}}\,;$

en faisant $r=q-{\sqrt {ht}}.$ L’intégrale doit être prise de

$r=-{\tfrac {1}{0}}\;{\grave {a}}\;r=-{\sqrt {ht}}-{\frac {x}{2{\sqrt {kt}}}},\;\;\mathrm {ou} \;\mathrm {de} \;\;r={\sqrt {ht}}+{\frac {x}{2{\sqrt {kt}}}}\;{\grave {a}}\;r={\tfrac {1}{0}},$

on en conclut l’expression suivante :

$v=e^{-x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}\,\psi \left({\sqrt {ht}}-{\frac {x}{2{\sqrt {kt}}}}\right)+e^{x{\sqrt {\frac {h}{k}}}}\,\psi \left({\sqrt {ht}}+{\frac {x}{2{\sqrt {kt}}}}\right).$

369.

On a obtenu art. (367) l’équation

$v=e^{-ht}\left\{\psi \left({\frac {-x-\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}\right)-\psi \left({\frac {-x+\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}\right)\right\}.$

pour exprimer la loi de la diffusion de la chaleur dans une barre peu épaisse, échauffée uniformément à son milieu entre les limites données $x=-\alpha ,\,x=+\alpha .$ On avait précédemment résolu la même question en suivant une méthode différente, et l’on était parvenu, en supposant $\alpha =1$ à l’équation