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THÉORIE DE LA CHALEUR.

${\begin{aligned}v={\frac {2e^{-ht}}{\pi {\sqrt {kt}}}}\int du\,e^{-u^{2}}&\left(1-{\frac {u^{2}}{2.3}}\cdot {\frac {1}{kt}}+{\frac {u^{4}}{2.3.4.5}}\cdot {\frac {1}{k^{2}t^{2}}}\right.\\&\left.-{\frac {u^{6}}{2.3.4.5.6.7}}\cdot {\frac {1}{k^{3}t^{3}}}+\mathrm {etc.} \right),\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {ou} \quad v={\frac {2e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}\left[{\frac {1}{2{\sqrt {kt}}}}-{\frac {1}{1}}{\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{2{\sqrt {kt}}}}\right)^{3}\right.&+{\frac {1}{1.2}}{\frac {1}{5}}\left({\frac {1}{2{\sqrt {kt}}}}\right)^{5}\\&\left.-{\frac {1}{1.2.3}}{\frac {1}{7}}\left({\frac {1}{2{\sqrt {kt}}}}\right)^{7}+\mathrm {etc.} \right].\\\end{aligned}}$

Cette équation est la même que la précédente, lorsqu’on suppose $\alpha =1.$ On voit par-là que ces intégrales, que l’on a obtenues par des procédés différents, conduisent aux mêmes séries convergentes, et l’on parvient aussi à deux résultats identiques, quelle que soit la valeur de $x.$

On pourrait, dans cette question comme dans la précédente, comparer les quantités de chaleur qui, dans un instant donné, traversent différentes sections du prisme échauffé, et l’expression générale de ces quantités ne contient aucun signe d’intégration ; mais, sans s’arrêter à ces remarques, on terminera cette section par la comparaison des différentes formes que l’on a données à l’intégrale de l’équation qui représente la diffusion de la chaleur dans une ligne infinie.

370.

Pour satisfaire à l’équation ${\frac {du}{dt}}=\mathrm {K} {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}},$ on peut supposer $u=e^{-x}.e^{kt},$ et en gênerai $u=e^{-nx}.e^{n^{2}kt},$ on en déduit facilement, art. 364, l’intégrale

$u=\int dq\,e^{-q^{2}}\,\varphi \left(x+2q{\sqrt {kt}}\right).$