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THÉORIE DE LA CHALEUR.

après un temps très-long. Elles ne dépendent plus que de la somme B, et non de la loi suivant laquelle la chaleur a été répartie.

378.

Si l’on suppose qu’un seul élément $\omega$ placé à l’origine a reçu la température initiale $f,$ et que tous les autres avaient la température 0, le produit $\omega f$ sera équivalent à l’intégrale $\textstyle \int \limits _{-h}^{+g}d\alpha \,f\alpha$ ou B. La constante $f$ sera extrêmement grande. puisqu’on suppose la ligne $\omega$ très-petite.

L’équation $v={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{4\,t}}}}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}}.\omega f$ représente le mouvement qui aurait lieu, si un seul élément placé à l’origine eût été échauffé. En effet, si l’on donne à $x$ une valeur quelconque $a,$ non infiniment petite, la fonction ${\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{4\,t}}}}{\sqrt {t}}}$ sera nulle lorsqu’on supposera $t=0.$ Il n’en sera pas de même si la valeur de $x$ est nulle. Dans ce cas la fonction ${\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{4\,t}}}}{\sqrt {t}}}$ reçoit au contraire une valeur infinie, si $t=0.$ On connaîtra distinctement la nature de cette fonction, si l’on applique les principes généraux de la théorie des surfaces courbes à la surface qui aurait pour équation $z={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{4\,y}}}}{\sqrt {y}}}.$

L’équation $v={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{4\,t}}}}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}}.\omega .f$ exprime donc la température variable d’un point quelconque du prisme, lorsqu’on suppose toute la chaleur initiale réunie dans un seul élément