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CHAPITRE IX.

à ${\frac {-x^{2}}{4\,k\,t}}\,;$ c’est-à-dire que la raison des deux quantités

${\frac {(\alpha -x)^{2}}{4\,k\,t}}\quad \mathrm {et} \quad {\frac {-x^{2}}{4\,k\,t}}$

approche d’autant plus de l’unité que la valeur de $x$ est plus grande par rapport à celle de $\alpha$ : mais il ne s’ensuit pas que l’on puisse remplacer l’une de ces quantités par l’autre dans l’exposant de $e.$ En général l’omission des termes subordonnés ne peut point avoir lieu ainsi dans les expressions exponentielles ou trigonométriques. Les quantités placées sous les signes de sinus ou de cosinus, ou sous le signe exponentiel $e$ sont toujours des nombres absolus, et l’on ne peut omettre que les parties de ces nombres, dont la valeur est extrêmement petite ; leurs valeurs relatives ne sont ici d’aucune considération. Pour juger si l’on peut réduire l’expression

$\int \limits _{0}^{g}d\alpha \;f\alpha \,e^{\frac {-(x-\alpha )^{2}}{4\,k\,t}}\quad$ à celle-ci $\quad e^{\frac {-x^{2}}{4\,k\,t}}\int \limits _{0}^{g}d\alpha \;f\alpha ,$

il ne faut pas examiner si le rapport de $x$ à $\alpha$ est très-grand, mais si les termes ${\frac {2\alpha x}{4\,k\,t}},\;{\frac {-\alpha ^{2}}{4\,k\,t}}$ sont des nombres très-petits. Cette condition a toujours lieu lorsque le temps écoulé $t$ est extrêmement grand ; mais elle ne dépend point du rapport ${\frac {x}{\alpha }}.$

381.

Supposons maintenant que l’on veuille connaître combien il doit s’écouler de temps pour que les températures de la partie