Réciproquement, si dans la série exprimée par l’équation (T) on développe la fonction selon les puissances de en ordonnant le résultat par rapport à ces mêmes puissances de les coëfficients de ces puissances se trouvent formés de deux fonctions entièrement arbitraires de ce que l’on peut aisément vérifier en faisant le calcul.
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La valeur de développée selon les puissances de ne doit en effet contenir qu’une fonction arbitraire en car l’équation différentielle montre clairement que, si l’on connaissait en fonction de la valeur de qui répond à les autres valeurs de cette fonction qui répondent aux valeurs subséquentes de seraient par cela même déterminées.
Il n’est pas moins évident que la fonction étant développée selon les puissances ascendantes de doit contenir deux fonctions entièrement arbitraires de la variable En effet, l’équation différentielle montre que, si l’on connaissait en fonction de la valeur de qui répond à une valeur déterminée de on ne pourrait pas en conclure les valeurs de qui répondent à toutes les autres valeurs de Il faudrait, de plus, que l’on donnât en fonction de la valeur de qui répond à une seconde valeur de par exemple à celle qui est infiniment voisine de la première. Alors tous les autres états de la fonction c’est-à-dire ceux qui répondent à toutes les autres valeurs de seraient déterminés. L’équation différentielle appartient à une surface courbe, l’ordonnée verticale d’un point quelconque étant et les deux coordonnées horizontales étant et
