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THÉORIE DE LA CHALEUR.
loppera selon les puissances de
et l’on écrira
au lieu
de
en considérant
comme indice de différentiation.
La seconde partie de la série (X) se déduit de la première,
en intégrant par rapport à
et changeant la fonction
en une autre fonction arbitraire
Ou a donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}v&=\cos .\left(x{\sqrt {-\mathrm {D} }}\right)+\mathrm {W} ,\\\mathrm {et} \qquad \qquad \qquad \mathrm {W} &=\psi t.\int \limits _{0}^{x}dx\,\cos .\left(x{\sqrt {-\mathrm {D} }}\right).\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbc385e0d8fa6158e0cf5a0eccc83c8842e8a538)
Ces notations abrégées et connues dérivent des analogies
qui subsistent entre les intégrales et les puissances. Quant
à l’usage que nous en faisons ici, il a pour objet d’exprimer
les séries, et de les vérifier sans aucun développement. Il
suffit de différentier sous les signes que cette notation emploie.
Par exemple, de l’équation
on déduit,
en différentiant par rapport à
seulement,
![{\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=\mathrm {D} ^{2}.e^{t\mathrm {D} ^{2}}\varphi x=\mathrm {D} ^{2}v={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}v\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51667a4eb34c129e47e267bf89a9edd2ee735c83)
ce qui montre immédiatement que la série satisfait à l’équation
différentielle
Pareillement, si l’on considère la
première partie de la série (X), en écrivant
![{\displaystyle v=\cos .\left(x{\sqrt {-\mathrm {D} }}\right)\,\varphi t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/395c2ed1df83877461e2d64c75a9dd5a31acd128)
on aura, en différentiant deux fois par rapport à
seulement,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}=\mathrm {D} .\cos .(x{\sqrt {-\mathrm {D} )}}\,\varphi t=\mathrm {D} v={\frac {dv}{dt}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58073e291296dee45fbae6597685e6e640859de3)
Donc cette valeur de
satisfait à l’équation différentielle