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THÉORIE DE LA CHALEUR.
contiennent ni
ni
On aura donc aussi
![{\displaystyle u=\int d\alpha \,\mathrm {F} \alpha .\int dq.\cos .(q^{2}t)\,\cos .(qx-q\alpha ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0455dfe3a2f227b62062b62982df247a7841d8d)
étant une fonction quelconque, et quelles que soient les
limites des intégrations. Cette valeur de
n’est autre chose
qu’une somme de valeurs particulières.
Il est nécessaire maintenant qu’en supposant
la valeur
de
soit celle que nous avons désignée par
ou
On aura donc
![{\displaystyle \varphi x=\int d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \int dq\,\cos .(qx-q\alpha ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdedec6cde1fdf238d0c053f7825ed747c08bc16)
Il faut déterminer la fonction
en sorte que, les deux intégrations
étant achevées, le résultat soit la fonction arbitraire
Or le théorème exprimé par l’équation (B) fait
connaître que les limites de chacune des intégrales étant
![{\displaystyle -{\tfrac {1}{0}}\quad \mathrm {et} \quad +{\tfrac {1}{0}},\qquad \mathrm {on} \;\mathrm {a} \quad \mathrm {F} \alpha ={\frac {1}{2\pi }}\varphi \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3851035228ca029555532a01793bd7f208792ab)
Donc la valeur de
est donnée par l’équation suivante :
![{\displaystyle u={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\varphi \alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dq\,\cos .(q^{2}t)\,\cos .(qx-q\alpha ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee4c451f601e59fb03a5aebc869e0817dda3010f)
Si l’on intégrait par rapport à
cette valeur
en y changeant
en
il est évident que l’intégrale désignée par
satisferait encore à l’équation différentielle proposée
et l’on aurait
![{\displaystyle \mathrm {W} ={\frac {1}{2\pi }}\int d\alpha \,\psi \alpha \int dq.{\frac {1}{q^{2}}}\,\sin .(q^{2}t)\,\cos .(qx-q\alpha )\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/069b1517eaa743a3a3a76b7043c704ba96bb61b3)
Cette valeur
devient nulle lorsque
; et si l’on prend