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THÉORIE DE LA CHALEUR.
Si l’on suppose
il est nécessaire que
devienne
On aura donc
![{\displaystyle \varphi (x,y)=\int d\alpha \int d\beta \,\mathrm {F} (\alpha ,\beta )\int dp\,\cos .(px-p\alpha )\int dq\,\cos .(qy-q\beta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88f1a7edea90bded888dd4b93e5cb8aae9cf4193)
Ainsi la question est réduite à déterminer
en sorte
que le résultat des intégrations indiquées soit
Or, en
comparant la dernière équation à l’équation (BB), on trouve
![{\displaystyle \varphi (x,y)=\left({\frac {2}{2\pi }}\right)^{2}\!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!d\alpha \!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!d\beta \,\varphi (\alpha ,\beta )\!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!dp\,\cos .(px-p\alpha )\!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!dq\,\cos .(qy-q\beta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b68c382d5e514ccf8d165126571bdcee1d8a12b5)
Donc l’intégrale sera ainsi exprimée :
![{\displaystyle v=\left({\frac {2}{2\pi }}\right)^{2}\!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!d\alpha \!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!d\beta \,\varphi (\alpha ,\beta )\!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!dp\,\cos .(px-p\alpha )\!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!dq\,\cos .(qy-q\beta )\,\cos .t{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4730a432f6f16c0cd14aee96970147b1929d81fe)
On obtient ainsi une première partie
de l’intégrale ; et, désignant
par
la seconde partie, qui doit contenir l’autre
fonction arbitraire
on aura
![{\displaystyle v=u+\mathrm {W} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53097b1c89dbb0bfa0ebb3fff2c34d2350d3dcb7)
et l’on prendra pour
l’intégrale
en changeant seulement
en
En effet,
devient égale à
lorsqu’on
fait
et en même temps
devient nulle, puisque l’intégration,
par rapport à
change le cosinus en sinus.
De plus, si l’on prend la valeur de
et que l’on fasse
la première partie, qui contient alors un sinus, devient
nulle, et la seconde partie devient égale à
Ainsi l’équation
est l’intégrale complète de la
proposée.
On formerait de la même manière l’intégrale de l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab1c37e7795447c429263fc7c6a6af06cc504010)