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THÉORIE DE LA CHALEUR.
La première série est ainsi exprimée :
![{\displaystyle v=\varphi x+t{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\varphi x+{\frac {t^{2}}{2}}{\frac {d^{4}}{dx^{4}}}\varphi x+{\frac {t^{3}}{2.3}}{\frac {d^{6}}{dx^{6}}}\varphi x+\mathrm {etc.} \qquad ({\boldsymbol {\mathrm {T} }})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd4214ba6efca2605f47dd72bf937bf3155ff4db)
L’intégrale désignée par
art. 397, ou
![{\displaystyle v={\frac {1}{2\pi }}\int d\alpha \,\varphi \alpha \int dp\,e^{-p^{2}t}\,\cos .(px-p\alpha ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/703b70dd7f902b033efe3439e4198be05713ace3)
représente la somme de cette série, et contient la seule fonction
arbitraire
La valeur de
développée selon les puissances de
contient deux fonctions arbitraires
et
et est ainsi exprimée :
![{\displaystyle {\begin{aligned}v&=ft+{\frac {x^{2}}{2}}\cdot {\frac {d}{dt}}ft+{\frac {x^{4}}{2.3.4}}\cdot {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}ft+{\frac {x^{6}}{2.3.4.5.6}}\cdot {\frac {d^{3}}{dt^{3}}}ft+\mathrm {etc.} \\&+x\mathrm {F} t+{\frac {x^{3}}{2.3}}{\frac {d}{dt}}\mathrm {F} t+{\frac {x^{5}}{2.3.4.5}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathrm {F} t+{\frac {x^{7}}{2.3.4.5.6.7}}{\frac {d^{3}}{dt^{3}}}\mathrm {F} t+\mathrm {etc.} \;\;({\boldsymbol {\mathrm {X} }})\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3bf75d4646c3d8fa51d1f401ad580d46f082519)
Il y a donc, indépendamment de l’équation
une autre
forme de l’intégrale qui représente la somme de cette dernière
série, et qui contient deux fonctions arbitraires,
et
Il s’agit de découvrir cette seconde intégrale de l’équation
proposée, qui ne peut être plus générale que la précédente
mais qui contient deux fonctions arbitraires.
On y parviendra en sommant chacune des deux séries qui
entrent dans l’équation (X). Or il est évident que si l’on connaissait
en fonction de
et
la somme de la première série
qui contient
il faudrait, après l’avoir multipliée par
prendre l’intégrale par rapport à
et changer
en
On
trouverait ainsi la seconde série. De plus, il suffirait de
connaître la somme des termes impairs qui entrent dans la
première série : car, en désignant cette somme par
et la