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vement ceux de l’équation proposée, quand on lui adjoindra successivement 
2o Nous avons vu plus haut que toutes les valeurs de 
étaient des fonctions rationnelles les unes des autres. D’après cela, supposons que, étant une racine de 
, 
en soit une autre ; il est clair que de même si 
est une racine de 
, en sera une autre ; car on aura
![{\displaystyle f\left[\operatorname {F} (\mathrm {V} ),r\right]={\text{une fonction divisible par }}f(\mathrm {V} ,r).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52cb70fd6a513df8b3d75a9a47b95858d2f01119)
Donc (lemme 1)
![{\displaystyle f\left[\operatorname {F} (\mathrm {V} ),r'\right]={\text{une fonction divisible par }}f(\mathrm {V} ',r').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe1e08a2ea8518dd2eedc684102e6d3fe46774e)
Cela posé, je dis que l’on obtient le groupe relatif à 
en opérant partout dans le groupe relatif à 
une même substitution de lettres.
En effet, si l’on a, par exemple,
on aura encore (lemme I),
Donc, pour passer de la permutation ![{\displaystyle \left[\operatorname {F} (\mathrm {V} )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46887dfcc2da1bc8a497e06544814684a12cc31e)
à la permutation ![{\displaystyle \left[\operatorname {F} (\mathrm {V} ')\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb52893130f1473da0ea514f6c0fa6f19dfe8bc3)
, il faut faire la même substitution que pour passer de la permutation 
à la permutation 
.
Le théorème est donc démontré.
PROPOSITION III
Théorème. — Si l’on adjoint à une équation toutes les
racines d’une équation auxiliaire, les groupes dont il est question
dans le théorème II jouiront, de plus, de cette propriété que les substitutions sont les mêmes dans chaque groupe.
On trouvera la démonstration ([1]).
- ↑ Dans le manuscrit, l’énoncé du théorème qu’on vient de lire se trouve en marge et en remplace un autre que Galois avait écrit avec sa démonstration sous
le même titre : Proposition III. Voici le texte primitif : Théorème. — Si l’équa-
