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puisque, dans le théorème précédent, il ne s’agit que des substitutions que l’on peut faire dans les fonctions.

Scolie II. — Les substitutions sont indépendantes même du nombre des racines.

PROPOSITION II.

Théorème (^[1]). — Si l’on adjoint à une équation donnée la racine $r$ d’une équation auxiliaire irréductible, 1^o il arrivera de deux choses l’une : ou bien le groupe de l’équation ne sera pas changé, ou bien il se partagera en $p$ groupes appartenant chacun à l’équation proposée respectivement quand on lui adjoint chacune des racines de l’équation auxiliaire ; 2^o ces groupes jouiront de la propriété remarquable, que l’on passera de l’un à l’autre en opérant dans toutes les permutations du premier une même substitution de lettres.

1^o Si, après l’adjonction de $r$ , l’équation en $\mathrm {V}$ , dont il est question plus haut, reste irréductible, il est clair que le groupe de l’équation ne sera pas changé. Si, au contraire, elle se réduit, alors l’équation en $\mathrm {V}$ se décomposera en $p$ facteurs, tous de même degré et de la forme

f(\mathrm {V} ,r)\times f(\mathrm {V} ,r')\times f''(\mathrm {V} ,r'')\times \ldots ,

$r,r',r'',\ldots$ étant d’autres valeurs de $r$ . Ainsi, le groupe de l’équation proposée se décomposera aussi en groupes chacun d’un même nombre de permutations, puisque à chaque valeur de $\mathrm {V}$ correspond une permutation. Ces groupes seront respecti-

↑ Dans l’énoncé du théorème, après ces mots : la racine $r$ d’une équation auxiliaire irréductible, Galois avait mis d’abord ceux-ci : de degré $p$ premier, qu’il a effacés plus tard. De même, dans la démonstration, au lieu de $r,r',r'',\ldots$ étant d’autres valeurs de $r$ , la rédaction primitive portait : $r,r',r'',\ldots$ étant les diverses valeurs de $r$ . Enfin on trouve à la marge du manuscrit la note suivante de l’auteur :
« Il y a quelque chose à compléter dans cette démonstration. Je n’ai pas le temps. »
Cette ligne a été jetée avec une grande rapidité sur le papier ; circonstance qui, jointe aux mots : « Je n’ai pas le temps », me fait penser que Galois a relu son Mémoire pour le corriger avant d’aller sur le terrain. (A. Ch.)

[1] Dans l’énoncé du théorème, après ces mots : la racine $r$ d’une équation auxiliaire irréductible, Galois avait mis d’abord ceux-ci : de degré $p$ premier, qu’il a effacés plus tard. De même, dans la démonstration, au lieu de $r,r',r'',\ldots$ étant d’autres valeurs de $r$ , la rédaction primitive portait : $r,r',r'',\ldots$ étant les diverses valeurs de $r$ . Enfin on trouve à la marge du manuscrit la note suivante de l’auteur :
« Il y a quelque chose à compléter dans cette démonstration. Je n’ai pas le temps. »
Cette ligne a été jetée avec une grande rapidité sur le papier ; circonstance qui, jointe aux mots : « Je n’ai pas le temps », me fait penser que Galois a relu son Mémoire pour le corriger avant d’aller sur le terrain. (A. Ch.)

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