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Page:Galois - Œuvres mathématiques, Gauthier-Villars, 1897.djvu/35

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seront \mathrm A et  ; l’équation sera donc

Réciproquement, toute équation du second degré de la forme

aura ses racines à la fois immédiatement périodiques et symétriques. En effet, en mettant tour à tour pour l’infini et , on obtient des résultats positifs, tandis qu’en faisant et , on obtient des résultats négatifs ; d’où l’on voit d’abord que cette équation a une racine positive plus grande que l’unité et une racine négative comprise entre et , et qu’ainsi ces racines sont immédiatement périodiques ; de plus, cette équation ne change pas en y changeant en  ; d’où il suit que, si est une de ses racines, l’autre sera , et qu’ainsi, dans ce cas,

Appliquons ces généralités à l’équation du second degré

on lui trouve d’abord une racine positive comprise entre 3 et 4; en posant

on obtient la transformée

dont la forme nous apprend que les valeurs de sont à la fois immédiatement périodiques et symétriques ; en effet, en posant tour à tour

on obtient les transformées

L’identité entre les équations en et en prouve que la valeur