Page:Galois - Œuvres mathématiques, Gauthier-Villars, 1897.djvu/35

— 7 —

seront \mathrm A et $-{\frac {1}{\mathrm {A} }}$ ; l’équation sera donc

$\mathrm {A} x^{2}-(\mathrm {A} ^{2}-1)x-\mathrm {A} =0.$

Réciproquement, toute équation du second degré de la forme

$ax^{2}-bx-a=0$

aura ses racines à la fois immédiatement périodiques et symétriques. En effet, en mettant tour à tour pour $x$ l’infini et $-1$, on obtient des résultats positifs, tandis qu’en faisant $x=1$ et $x=0$, on obtient des résultats négatifs ; d’où l’on voit d’abord que cette équation a une racine positive plus grande que l’unité et une racine négative comprise entre $0$ et $-1$, et qu’ainsi ces racines sont immédiatement périodiques ; de plus, cette équation ne change pas en y changeant $x$ en $-{\frac {1}{x}}$ ; d’où il suit que, si $\mathrm {A}$ est une de ses racines, l’autre sera $-{\frac {1}{\mathrm {A} }}$, et qu’ainsi, dans ce cas, $\mathrm {B=A} .$

Appliquons ces généralités à l’équation du second degré

$3x^{2}-16x+18=0\,;$

on lui trouve d’abord une racine positive comprise entre 3 et 4; en posant

$x=3+{\frac {1}{y}}$

on obtient la transformée

$3y^{2}-2y-3=0,$

dont la forme nous apprend que les valeurs de $y$ sont à la fois immédiatement périodiques et symétriques ; en effet, en posant tour à tour

$y=1+{\frac {1}{z}},\quad z=2+{\frac {1}{t}},\quad t=1+{\frac {1}{u}},$

on obtient les transformées

$2z^{2}-4z-3=0,\quad 3t^{2}-4t-2=0,\quad 3u^{2}-2u-3=0.$

L’identité entre les équations en $u$ et en $y$ prouve que la valeur