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est toujours possible, comme l’addition, au moyen d’une équation de degré $n$ dont les racines sont les valeurs à substituer dans l’intégrale pour avoir les termes réduits.

L’équation qui donne la division des périodes en $p$ parties égales est du degré $p^{2n}-1$. Son groupe a en tout

$(p^{2n}-1)(p^{2n}-p)\ldots (p^{2n}-p^{2n-1})\;$ permutations.

L’équation qui donne la division d’une somme de $n$ termes en $p$ parties égales est du degré $p^{2n}$. Elle est soluble par radicaux.

De la transformation. — On peut d’abord, en suivant des raisonnements analogues à ceux qu’Abel a consignés dans son dernier Mémoire, démontrer que si, dans une même relation entre des intégrales, on a les deux fonctions

$f\Phi (x,\mathrm {X} )dx,\;f\Psi (y,\mathrm {Y} )d\mathrm {Y} ,$

la dernière intégrale ayant $2n$ périodes, il sera permis de supposer que $y$ et $\mathrm {Y}$ s’expriment moyennant une seule équation de degré $n$ en fonction de $x$ et de $\mathrm {X}$.

D’après cela on peut supposer que les transformations aient lieu constamment entre deux intégrales seulement, puisqu’on aura évidemment, en prenant une fonction quelconque rationnelle de $y$ et de $\mathrm {Y}$,

$\Sigma \int f(y,\mathrm {Y} )dy=\int \mathrm {F} (x,\mathrm {X} )dx+$ une quant. alg. et log.

Il y aurait sur cette équation des réductions évidentes dans le cas où les intégrales de l’un et de l’autre membre n’auraient pas toutes deux le même nombre de périodes.

Ainsi nous n’avons à comparer que des intégrales qui aient toutes deux le même nombre de périodes.

On démontrera que le plus petit degré d’irrationnalité de deux pareilles intégrales ne peut être plus grand pour l’une que pour l’autre.

On fera voir ensuite qu’on peut toujours transformer une intégrale donnée en une autre dans laquelle une période de la première soit divisée par le nombre premier $p$, et les $2n-1$ autres restent les mêmes.