permutations de l’un des groupes partiels, une fonction qui n’est invariable par aucune substitution.)
Soit cette fonction des racines.
Opérons sur la fonction une des substitutions du groupe total qui ne lui sont pas communes avec les groupes partiels. Soit le résultat. Opérons sur la fonction la même substitution, et soit le résultat, et ainsi de suite.
Comme est un nombre premier, cette suite ne pourra s’arrêter qu’au terme ; ensuite l’on aura , et ainsi de suite.
Cela posé, il est clair que la fonction
sera invariable par toutes les permutations du groupe total et, par conséquent, sera actuellement connue.
Si l’on extrait la racine de cette fonction, et qu’on l’adjoigne à l’équation, alors, par la proposition IV, le groupe de l’équation ne contiendra plus d’autres substitutions que celles des groupes partiels.
Ainsi, pour que le groupe d’une équation puisse s’abaisser par une simple extraction de racine, la condition ci-dessus est nécessaire et suffisante.
Adjoignons à l’équation le radical en question ; nous pourrons raisonner maintenant sur le nouveau groupe comme sur le précédent, et il faudra qu’il se décompose lui-même de la manière indiquée, et ainsi de suite, jusqu’à un certain groupe qui ne contiendra plus qu’une seule permutation.
Scolie. — Il est aisé d’observer cette marche dans la résolution connue des équations générales du quatrième degré. En effet, ces équations se résolvent au moyen d’une équation du troisième degré, qui exige elle-même l’extraction d’une racine carrée. Dans la suite naturelle des idées, c’est donc par cette racine carrée qu’il faut commencer. Or, en adjoignant à l’équation du quatrième degré cette racine carrée, le groupe de l’équation, qui contenait en tout vingt-quatre substitutions, se décompose en deux qui n’en contiennent que douze. En désignant par les racines,
