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Il faut donc et il suffit que l’équation qui donne cette fonction des racines admette, quel que soit X, une valeur rationnelle.

Si l’équation proposée a tous ses coefficients rationnels, l’équation auxiliaire qui donne cette fonction les aura tous aussi, et il suffira de reconnaître si cette équation auxiliaire du degré a ou non une racine rationnelle, ce que l’on sait faire.

C’est là le moyen qu’il faudrait employer dans la pratique. Mais nous allons présenter le théorème sous une autre forme.


PROPOSITION VIII.

Théorème. — Pour qu’une équation irréductible de degré premier soit soluble par radicaux, il faut et il suffit que deux quelconques des racines étant connues, les autres s’en déduisent rationnellement.

Premièrement, il le faut, car la substitution


ne laissant jamais deux lettres à la même place, il est clair qu’en adjoignant deux racines à l’équation, par la proposition IV, son groupe devra se réduire à une seule permutation.

En second lieu, cela suffit ; car, dans ce cas, aucune substitution du groupe ne laissera deux lettres aux mêmes places. Par conséquent, le groupe contiendra tout au plus permutations. Donc, il ne contiendra qu’une seule substitution circulaire (sans quoi il y aurait au moins permutations). Donc, toute substitution du groupe, devra satisfaire à la condition


Donc, etc.

Le théorème est donc démontré.

E. G.
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