de la forme
et de substitutions de l’ordre , dont la période serait de
termes. (Voyez encore l’endroit cité.)
Les premiers doivent nécessairement, pour que le groupe jouisse de la propriété voulue, se réduire à la forme
d’après ce qu’on a vu pour les équations de degré .
Quant aux substitutions dont la période serait de termes, comme elles sont conjuguées aux précédentes, nous pouvons supposer un groupe qui les contienne sans contenir celles-ci : donc elles devront transformer les substitutions circulaires (a) les unes dans les autres ; donc elles seront aussi linéaires.
Nous sommes donc arrivés à cette conclusion, que le groupe primitif de permutations de lettres doit ne contenir que des substitutions de la forme (A).
Maintenant, prenons le groupe total que l’on obtient en opérant sur l’expression
toutes les substitutions linéaires possibles, et cherchons quels
sont les diviseurs de ce groupe qui peuvent jouir de la propriété
voulue pour la résolubilité des équations.
Quel est d’abord le nombre total des substitutions linéaires ? Premièrement, il est clair que toute transformation de la forme
ne sera pas pour cela une substitution ; car il faut, dans une
substitution, qu’à chaque lettre de la première permutation il ne
réponde qu’une seule lettre de la seconde, et réciproquement.
Si donc on prend une lettre quelconque de la seconde permutation, et que l’on remonte à la lettre correspondante dans la première, on devra trouver une lettre où les indices , seront parfaitement déterminés. Il faut donc que, quels que soient et , on ait, par les deux équations