quantités numériques, on peut trouver un groupe qui contienne toutes les substitutions par lesquelles cette fonction est invariable, et qui n’en contienne pas d’autres.
Il est certain que celà a lieu pour des quantités littérales, puisqu’une fonction de plusieurs lettres invariables par deux substitutions est invariable par leur produit. Mais rien n’annonce que la même chose ait toujours lieu quand aux lettres on substitue des nombres.
On ne peut donc point traiter toutes les équations comme les équations littérales. Il faut avoir recours à des considérations fondées sur les propriétés particulières de chaque équation numérique. C’est ce que je vais tacher de faire
Des cas particuliers des équations[1]
7 Remarquons que tout ce qu’une équation numérique peut avoir de particulier, doit provenir de certai[nes] relations entre les racines. Ces relations seront ratio[nnelles] dans le sens que nous l’avons entendu, c’est à dir[e] qu’elles ne contiendront d’irrationnelles que les coëffici[ents] de l’équation et les quantités adjointes. De plus [ces] relations ne devront pas être invariables par to[ute] substitution opérée sur les racines, sans quoi on [n’aurait] rien de plus que dans les équations littérales.
Ce qu’il importe donc de connaître, c’est par quelles substitutions peuvent être invari[ables] des relations entre les racines, ou ce qui revient a[u même, ] des fonctions des racines dont la valeur numéri[que] est déterminable rationnellement.
À ce sujet, nous allons démontrer un théorème de la dernière importance dans cette matière et dont l’énoncé suit : « Étant donnée une équation avec un certain nombre de quantités adjointes, il existe toujours un certain groupe de permutations dont les substitutions sont telles[2] que toute fonction des ra-
- ↑ Ces mots sont mis en marge.
- ↑ La page se termine au mot « telles », le reste se continue sur deux feuilles distinctes ; l’une de ces deux feuilles est écrite sur le recto et le verso, c’est celle dont le texte est imprimé ci-dessus ; l’autre feuille n’est écrite que sur le recto, jusqu’au milieu de la page : le verso contient quelques calculs relatifs à la résolution algébrique de l’équation du troisième degré. Les deux feuilles contiennent le même texte jusqu’à la fin de l’alinéa «… sont seules connues ». À partir de ces mots, on lit dans la seconde feuille :
Mais, avant de développer la démonstration complète de cette proposition,
