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l’expression précédente peut s’écrire comme il suit :

${\begin{aligned}&\left({\frac {a\,\alpha }{p}}\!+\!{\frac {a'\alpha '}{p'}}\!+\!{\frac {a''\alpha ''}{p''}}+\ldots \right)\mu ^{2}+\left({\frac {b\,\beta }{p}}+{\frac {b'\beta '}{p'}}+{\frac {b''\beta ''}{p''}}+\ldots \right)\mu ^{2}\\+{}&\left({\frac {c\,\gamma }{p}}+{\frac {c'\gamma '}{p'}}+{\frac {c''\gamma ''}{p''}}+\ldots \right)\mu ^{2}.\end{aligned}}$

Mais on a trouvé

${\frac {a\,\alpha }{p}}+{\frac {a'\alpha '}{p'}}+{\frac {a''\alpha ''}{p''}}+\ldots =(aa)(\alpha \alpha )+(ab)(\alpha \beta )+(ac)(\alpha \gamma )+\ldots ;$

or, le second membre est l’unité, comme on le reconnaît facilement par la comparaison des équations (6) et (7).

On trouvera de même

${\begin{alignedat}{4}&{\frac {b\,\beta }{p}}{}&&+{}{\frac {b'\beta '}{p'}}{}&&+{}{\frac {b''\beta ''}{p''}}{}&&+{}\ldots =1,\\&{\frac {c\,\gamma }{p}}{}&&+{}{\frac {c'\gamma '}{p'}}{}&&+{}{\frac {c''\gamma ''}{p''}}{}&&+{}\ldots =1,\end{alignedat}}$

et ainsi de suite.

D’après cela, la valeur moyenne de $\mathrm {S}$ devient $\sigma \mu ^{2}$, et si l’on juge permis de regarder la valeur fortuite de $\mathrm {S}$ comme égale à la valeur moyenne, on en conclut

$\mu ={\sqrt {\frac {\mathrm {S} }{\sigma }}}\cdot$

17.

On peut apprécier la confiance que mérite cette détermination en calculant l’erreur moyenne à craindre, soit pour sa valeur propre, soit pour celle de son carré. La seconde sera la racine carrée de la valeur moyenne de l’expression

$\left({\frac {\mathrm {S} }{\sigma }}-\mu ^{2}\right)^{2},$

dont le développement s’obtiendra par des raisonnements semblables à ceux qui ont été exposés dans le premier Mémoire (art. 39 et suivants). Nous les supprimons pour abréger, en nous contentant d’indiquer le résultat.