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vantes :
![{\displaystyle {\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{6}(an)&{}+{}&(aa)&\,p{}+{}&(ab)&\,q{}+{}&(ac)&\,r{}+{}&\ldots &{}={}&0,\\(bn)&{}+{}&(ab)&\,p{}+{}&(bb)&\,q{}+{}&(bc)&\,r{}+{}&\ldots &{}={}&0,\\(cn)&{}+{}&(ac)&\,p{}+{}&(bc)&\,q{}+{}&(cc)&\,r{}+{}&\ldots &{}={}&0,\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f89d9662662f7b22967ecd14798d938ad4d03b66)
L’élimination, très-pénible lorsque le nombre des inconnues est considérable, peut se simplifier notablement de la manière suivante. Outre les coefficients
,
, etc. [dont le nombre est
, si le nombre des inconnues est
], supposons que l’on ait calculé la somme
![{\displaystyle {n}^{2}+{n'}^{2}+{n''}^{2}+\ldots =(nn)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e120bbba3b73993b06fa78f9a589a9b41ef152c)
on voit facilement que l’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=(nn)+2\,(an)\,p+2\,(bn)\,q+2\,(cn)\,r+\ldots \\&+(aa)\,p^{2}+2\,(ab)\,pq+2\,(ac)\,pr+\ldots \\&+(bb)\,q^{2}+2\,(bc)\,qr+2\,(bd)\,qs+\ldots \\&+(cc)\,r^{2}+2\,(cd)\,rs+\ldots \,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33c22eca5cb8a7f325a0edfa868e67222c546645)
et, en désignant
![{\displaystyle (an)+(aa)\,p+(ab)\,q+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e7a81c6cf75a2f87dce686d7010adf4a737b418)
par
, tous les termes de
qui contiennent le facteur
, se trouvent dans l’expression
, et, par suite,
![{\displaystyle \Omega -{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{(aa)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ac79a42abde32f4ad70429139137781b7cc1e8)
est une fonction indépendante de
. C’est pourquoi, en posant
![{\displaystyle {\begin{array}{l}{\begin{aligned}(nn)&{}-{}{\frac {(an)^{2}}{(aa)}}=(nn,1),\\(bn)&{}-{}{\frac {(an)\,(bn)}{(aa)}}=(bn,1),\\(cn)&{}-{}{\frac {(an)\,(cn)}{(aa)}}=(cn,1),\end{aligned}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \cdot \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37a07cf7519e5faa60e5340929d091d5476a7d3b)