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En continuant ainsi, nous formerons une suite d’expressions $\Omega$, $\Omega '$, $\Omega ''$, etc., dont la dernière sera indépendante des diverses inconnues, et représentée par $(nn,\mu )$, si $\mu$ désigne le nombre de ces inconnues ; nous aurons alors

$\Omega ={\frac {\mathrm {A} ^{2}}{(aa)}}+{\frac {\mathrm {B} ^{2}}{(bb,1)}}+{\frac {\mathrm {C} ^{2}}{(cc,2)}}+{\frac {\mathrm {D} ^{2}}{(dd,3)}}+\ldots +(nn,\mu ).$

On prouvera facilement que $\Omega$ étant une somme de carrés

$w^{2}+{w'}^{2}+{w''}^{2}+\ldots ,$

et ne pouvant devenir négative, les diviseurs $(aa)$, $(bb,1)$, $(cc,2)$, etc., sont tous positifs. (Nous supprimons, pour abréger, le détail de la démonstration.) D’après cela, la valeur minimum de $\Omega$ correspond évidemment aux valeurs des inconnues, pour lesquelles

${\begin{aligned}\mathrm {A} &=0,&\mathrm {B} &=0,&\mathrm {C} &=0,\ldots ,\end{aligned}}$

et, en commençant à résoudre le système par la dernière équation, qui ne contient qu’une inconnue, on trouvera les valeurs de $p$, $q$, $r$, $s$, etc., sans avoir aucune élimination à effectuer. La méthode donne, en même temps, la valeur minimum de $\Omega$, qui est $(nn,\mu )$.

3.

Appliquons ces principes à notre exemple, dans lequel $p$, $q$, $r$, $s$, etc., sont remplacés par $\mathrm {d} L$, $\mathrm {d} \tau$, $\mathrm {d} \pi$, $\mathrm {d} \varphi$, $\mathrm {d} {\text{☊}}\;$, $\mathrm {d} i$. J’ai trouvé, par des calculs exécutés avec soin :

	$(nn)$	${}={}$	${\color {white}{}+{}}148848$,
	$(an)$	${}={}$	${}-{}371{,}09$,
	$(bn)$	${}={}$	${}-{}580104$,
	$(cn)$	${}={}$	${}-{}113{,}45$,
	$(dn)$	${}={}$	${}+{}268{,}53$,
	$(en)$	${}={}$	${}+{}94{,}26$,
	$(fn)$	${}={}$	${}-{}31{,}81$,
	$(aa)$	${}={}$	${}+{}5{,}91569$,
	$(ab)$	${}={}$	${}+{}7203{,}91$,
	$(ac)$	${}={}$	${}-{}0{,}09344$,
	$(ad)$	${}={}$	${}-{}2{,}28516$,
	$(ae)$	${}={}$	${}-{}0{,}34664$,
	$(af)$	${}={}$	${}-{}0{,}18194$,
	$(bb)$	${}={}$	${}+{}10834225$,
	$(bc)$	${}={}$	${}-{}49{,}06$,
	$(bd)$	${}={}$	${}-{}3229{,}77$,
	$(be)$	${}={}$	${}-{}198{,}64$,
	$(bf)$	${}={}$	${}-{}143{,}05$,

(Ne pas chercher à reproduire la disposition en colonnes de l'original, le tableau se poursuit en réalité page suivante, le gain de place n'a pas beaucoup de sens pour la lecture sur internet, et les colonnes posent souvent problème sur liseuse.)