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nombre très-grand, ainsi que le problème de déterminer la probabilité que la somme de
erreurs d’observations tombe entre certaines limites.
Il est facile de généraliser cette recherche ; je me bornerai à indiquer ici le résultat.
Désignons par
la probabilité d’une erreur d’observation
, de manière que
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi \,x\cdot \mathrm {d} x=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2efa61a62c31d147582ef613ad4246570543939)
Désignons encore par
la valeur de l’intégrale
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi \,x\cdot x^{n}\,\mathrm {d} x=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26ae3da8f12d7cb6434e8d5c53d94862bd61c7b5)
Soit ensuite
![{\displaystyle \mathrm {S} _{n}=\alpha ^{n}+\beta ^{n}+\gamma ^{n}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8da5bc462293e7ca091fade4b1e2979c21711688)
où
,
,
, etc., représentent
erreurs quelconques d’observation ; les termes de cette somme seront tous pris positivement, même si
est impair.
sera alors la valeur la plus probable de
, et la probabilité que la véritable valeur de
tombe entre les limites
et
sera égale à
![{\displaystyle \Theta \,{\frac {\lambda }{\sqrt {2\,m\,(\mathrm {K} _{2n}-\mathrm {K} _{n}^{2})}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff48479447b7a44fff65c78c4c1513eb6180f6a2)
par conséquent, les limites probables de
seront
![{\displaystyle m\,\mathrm {K} _{n}-\rho \,{\sqrt {2\,m\,(\mathrm {K} _{2n}-\mathrm {K} _{n}^{2})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a9d8bbb3524decd1ec7bd2f03a4d3db26ad166c)
et
![{\displaystyle m\,\mathrm {K} _{n}+\rho \,{\sqrt {2\,m\,(\mathrm {K} _{2n}-\mathrm {K} _{n}^{2})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f559afbff43df35206af3bd6e7312a9b8b7e1a14)
Ce résultat s’applique, d’une manière générale, à toute loi des erreurs d’observation. En l’appliquant au cas particulier où
![{\displaystyle \varphi \,x={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\cdot e^{-h^{2}x^{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d25745d97ce957f0fbe4e59fbdf16eae618625e6)