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nombre très-grand, ainsi que le problème de déterminer la probabilité que la somme de $m$ erreurs d’observations tombe entre certaines limites.

Il est facile de généraliser cette recherche ; je me bornerai à indiquer ici le résultat.

Désignons par $\varphi (x)$ la probabilité d’une erreur d’observation $x$, de manière que

$\int _{-\infty }^{\infty }\varphi \,x\cdot \mathrm {d} x=1.$

Désignons encore par $\mathrm {K} _{n}$ la valeur de l’intégrale

$\int _{-\infty }^{\infty }\varphi \,x\cdot x^{n}\,\mathrm {d} x=1.$

Soit ensuite

$\mathrm {S} _{n}=\alpha ^{n}+\beta ^{n}+\gamma ^{n}+\ldots ,$

où $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., représentent $m$ erreurs quelconques d’observation ; les termes de cette somme seront tous pris positivement, même si $n$ est impair.

$m\,\mathrm {K} _{n}$ sera alors la valeur la plus probable de $\mathrm {S} _{n}$, et la probabilité que la véritable valeur de $\mathrm {S} _{n}$ tombe entre les limites $(m\,\mathrm {K} _{n}-\lambda )$ et $(m\,\mathrm {K} _{n}+\lambda )$ sera égale à

$\Theta \,{\frac {\lambda }{\sqrt {2\,m\,(\mathrm {K} _{2n}-\mathrm {K} _{n}^{2})}}}\,;$

par conséquent, les limites probables de $\mathrm {S} _{n}$ seront

$m\,\mathrm {K} _{n}-\rho \,{\sqrt {2\,m\,(\mathrm {K} _{2n}-\mathrm {K} _{n}^{2})}}$

et

$m\,\mathrm {K} _{n}+\rho \,{\sqrt {2\,m\,(\mathrm {K} _{2n}-\mathrm {K} _{n}^{2})}}.$

Ce résultat s’applique, d’une manière générale, à toute loi des erreurs d’observation. En l’appliquant au cas particulier où

$\varphi \,x={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\cdot e^{-h^{2}x^{2}},$