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par l’intégrale
![{\displaystyle \int y\,\psi (y)\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63dc4b94782eaf1e11dcd65c34870b69f0ced559)
,
étendue à toutes les valeurs possibles de
.
Si, par la nature de la fonction, ou à cause des limites imposées à
,
,
, etc.,
n’est pas susceptible de recevoir toutes les valeurs, on devra supposer que
s’annule pour toutes les valeurs que
ne peut atteindre, et l’on pourra alors étendre l’intégration de
à
.
Mais l’intégrale
![{\displaystyle \int y\,\psi (y)\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63dc4b94782eaf1e11dcd65c34870b69f0ced559)
,
prise entre des limites déterminées
, et
, est égale à
![{\displaystyle \int \!\!y\,\varphi \!\left[f(y,x',x'',\ldots )\right]{\frac {\mathrm {d} f(y,x',x'',\ldots )}{\mathrm {d} y}}\varphi (x')\varphi (x'')\ldots \mathrm {d} y\,\mathrm {d} x'\,\mathrm {d} x''\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6007c9e067dbe74fe5cd4216ca4d1cc5d4ecf5ff)
prise depuis
jusqu’à
et étendue à toutes les valeurs des variables
,
, etc., pour lesquelles
est réelle. Cette intégrale est égale, par conséquent, à l’intégrale
![{\displaystyle \int y\,\varphi (x)\,\varphi (x')\,\varphi (x'')\ldots \,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} x'\,\mathrm {d} x''\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c54362e5de79ba1f78e6af1cee8c2f6328c308ba)
dans laquelle
sera exprimé en fonction de
,
,
, etc., la sommation s’étendant à toutes les valeurs des variables qui laissent
compris entre
et
, D’après cela, l’intégrale
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }y\,\psi (y)\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/965627685afc538699407aeb142307000de45011)
peut se mettre sous la forme
![{\displaystyle \int y\,\varphi (x)\,\varphi (x')\,\varphi (x'')\ldots \,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} x'\,\mathrm {d} x''\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c54362e5de79ba1f78e6af1cee8c2f6328c308ba)
l’intégration s’étendant à toutes les valeurs réelles de
,
,
, c’est-à-dire depuis
à
,
à
, etc.