Page:Gauss - Méthode des moindres carrés, trad. Bertrand, 1855.djvu/38

La bibliothèque libre.
Cette page a été validée par deux contributeurs.
( 24 )

et, enfin, s’il est permis de supposer les quantités , , , etc., proportionnelles à , , , etc., cette expression se réduira à

résultat identique à celui que nous avons trouvé dans le cas où les observations sont toutes de même espèce.

17.

Lorsqu’une observation dont la précision n’est pas absolue, fait connaître une certaine quantité liée analytiquement à une grandeur inconnue, le résultat de cette observation peut fournir pour l’inconnue une valeur erronée, mais dans la détermination de laquelle il n’y a rien d’arbitraire qui puisse donner lieu à un choix plus ou moins vraisemblable.

Mais si plusieurs fonctions de la même inconnue sont données par des observations imparfaites, chaque observation fournira une valeur de l’inconnue, et l’on pourra également obtenir des valeurs, par la combinaison de plusieurs observations. Il y a évidemment une infinité de manières d’y parvenir ; le résultat sera soumis, dans tous les cas, à une erreur possible. Selon la combinaison adoptée, l’erreur moyenne à craindre pourra être plus ou moins grande.

La même chose aura lieu si plusieurs quantités observées dépendent à la fois de plusieurs inconnues. Selon que le nombre des observations sera égal au nombre des inconnues, ou plus petit ou plus grand que ce nombre, le problème sera déterminé, ou indéterminé, ou plus que déterminé (du moins en général), et, dans ce troisième cas, les observations pourront être combinées d’une infinité de manières pour fournir les valeurs des inconnues. Parmi ces combinaisons, il faudra choisir les plus avantageuses, c’est-à-dire celles qui fournissent des valeurs pour lesquelles l’erreur moyenne à craindre est la moindre possible. Ce