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Nous réservons pour une autre occasion l’examen du cas où les observations sont affectées d’une erreur constante inconnue, et nous traiterons cette question dans un autre Mémoire.
18.
PROBLÈME.
Soit
une fonction donnée des inconnues
,
,
, etc. ; on demande l’erreur moyenne
à craindre dans la détermination de la valeur de
, lorsque, au lieu des véritables valeurs de
,
,
, etc., on prend les valeurs déduites d’observations indépendantes les unes des autres ;
,
,
, etc., étant les erreurs moyennes qui correspondent à ces diverses observations.
Solution. — Désignons par
,
,
, etc., les erreurs des valeurs observées
,
,
, etc. ; l’erreur qui en résultera, pour la valeur de la fonction
, pourra s’exprimer par la fonction linéaire
![{\displaystyle \lambda e+\lambda 'e'+\lambda ''e''+\ldots =\mathrm {E} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e49a6226942f98772663dfcb460600d04c565bc7)
,
où
,
,
, etc., représentent les dérivées
,
,
, etc., lorsqu’on y remplace
,
,
, etc., par leurs vraies valeurs.
Cette valeur de
est évidente si l’on suppose les observations assez exactes pour que les carrés et les produits des erreurs soient négligeables. Il résulte de là que la valeur moyenne de
est nulle, puisque l’on suppose que les erreurs des observations n’ont plus de partie constante. Or l’erreur moyenne
, à craindre dans la valeur de
, sera la racine carrée de la valeur moyenne de
, c’est-à-dire que
sera la valeur moyenne de la somme
![{\displaystyle \lambda ^{2}e^{2}+{\lambda '}^{2}{e'}^{2}+{\lambda ''}^{2}{e''}^{2}+\ldots +2\lambda \lambda 'ee'+2\lambda \lambda ''ee''+2\lambda '\lambda ''e'e''+\ldots ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/055779a0676c7fcc229df4816ee108519341b337)
mais la valeur moyenne de
est
, celle de
est
, etc., enfin les valeurs moyennes des produits
sont toutes nulles ; donc on aura
![{\displaystyle \mathrm {M} ={\sqrt {\lambda ^{2}m^{2}+{\lambda '}^{2}{m'}^{2}+{\lambda ''}^{2}{m''}^{2}+\ldots }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/741f93bce6f894510ac28b44f8bd20da3e0fd69a)
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