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Nous réservons pour une autre occasion l’examen du cas où les observations sont affectées d’une erreur constante inconnue, et nous traiterons cette question dans un autre Mémoire.

18.

PROBLÈME.

Soit $\mathrm {U}$ une fonction donnée des inconnues $\mathrm {V}$, $\mathrm {V'}$, $\mathrm {V''}$, etc. ; on demande l’erreur moyenne $\mathrm {M}$ à craindre dans la détermination de la valeur de $\mathrm {U}$, lorsque, au lieu des véritables valeurs de $\mathrm {V}$, $\mathrm {V'}$, $\mathrm {V''}$, etc., on prend les valeurs déduites d’observations indépendantes les unes des autres ; $m$, $m'$, $m''$, etc., étant les erreurs moyennes qui correspondent à ces diverses observations.

Solution. — Désignons par $e$, $e'$, $e''$, etc., les erreurs des valeurs observées $\mathrm {V}$, $\mathrm {V'}$, $\mathrm {V''}$, etc. ; l’erreur qui en résultera, pour la valeur de la fonction $\mathrm {U}$, pourra s’exprimer par la fonction linéaire

$\lambda e+\lambda 'e'+\lambda ''e''+\ldots =\mathrm {E}$,

où $\lambda$, $\lambda '$, $\lambda ''$, etc., représentent les dérivées ${\frac {\mathrm {dU} }{\mathrm {dV} }}$, ${\frac {\mathrm {dU} }{\mathrm {dV'} }}$, ${\frac {\mathrm {dU} }{\mathrm {dV''} }}$, etc., lorsqu’on y remplace $\mathrm {V}$, $\mathrm {V'}$, $\mathrm {V''}$, etc., par leurs vraies valeurs.

Cette valeur de $\mathrm {E}$ est évidente si l’on suppose les observations assez exactes pour que les carrés et les produits des erreurs soient négligeables. Il résulte de là que la valeur moyenne de $\mathrm {E}$ est nulle, puisque l’on suppose que les erreurs des observations n’ont plus de partie constante. Or l’erreur moyenne $\mathrm {M}$, à craindre dans la valeur de $\mathrm {U}$, sera la racine carrée de la valeur moyenne de $\mathrm {E} ^{2}$, c’est-à-dire que $\mathrm {M} ^{2}$ sera la valeur moyenne de la somme

$\lambda ^{2}e^{2}+{\lambda '}^{2}{e'}^{2}+{\lambda ''}^{2}{e''}^{2}+\ldots +2\lambda \lambda 'ee'+2\lambda \lambda ''ee''+2\lambda '\lambda ''e'e''+\ldots ;$

mais la valeur moyenne de $\lambda ^{2}e^{2}$ est $\lambda ^{2}m^{2}$, celle de ${\lambda '}^{2}{e'}^{2}$ est ${\lambda '}^{2}{m'}^{2}$, etc., enfin les valeurs moyennes des produits $2\lambda \lambda 'ee'$ sont toutes nulles ; donc on aura

$\mathrm {M} ={\sqrt {\lambda ^{2}m^{2}+{\lambda '}^{2}{m'}^{2}+{\lambda ''}^{2}{m''}^{2}+\ldots }}$.