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sera, d’après l’article précédent, égale au produit de $m^{2}p$ par la somme

$\begin{array}{cc}{f}^2(\alpha \alpha )& +2fg(\alpha \beta )+2fh(\alpha \gamma )+\dots \\ & \begin{array}{cc}+g^2(\beta \beta )& +2gh(\beta \gamma )+\dots \\ & +h^2(\gamma \gamma )+\dots ,\end{array}\end{array}$

c’est-à-dire au produit de $m^{2}p$ par la valeur de la fonction $\mathrm{\Omega }-\mathrm{M}$, lorsqu’on y fait

$\begin{array}{cccccc}\xi & =f,& \eta & =g,& \zeta & =h,\dots .\end{array}$

Désignons par $\omega$ cette valeur de $\mathrm{\Omega }-\mathrm{M}$ ; l’erreur moyenne à craindre, lorsque l’on prend $t=\mathrm{K}$, sera $m\sqrt{p^{\stackrel{}{}}\omega }$ et le poids de cette détermination sera $\frac{1}{\omega }$.

Puisque l’on a identiquement

$\mathrm{\Omega }-\mathrm{M}=(x-\mathrm{A})\xi +(y-\mathrm{B})\eta +(z-\mathrm{C})\zeta +\dots ,$

$\omega$ sera égal à la valeur de l’expression

$(x-\mathrm{A})f+(y-\mathrm{B})g+(z-\mathrm{C})h+\dots$

[qui représente $(t=\mathrm{K})$], dans laquelle on remplacera $x$, $y$, $z$, etc., par les valeurs correspondantes à $\xi =f$, $\eta =g$, $\zeta =h$, etc.

Enfin, observant que $t$, exprimé en fonction des quantités $\xi$, $\eta$, $\zeta$, etc., aura $\mathrm{K}$ pour partie constante, si l’on suppose

$t=\mathrm{F}\xi +\mathrm{G}\eta +\mathrm{H}\zeta +\dots +\mathrm{K},$

on aura

$\omega =f\mathrm{F}+g\mathrm{G}+h\mathrm{H}+\dots .$

30.

Nous avons vu que la fonction $\mathrm{\Omega }$ acquiert son minimum absolu $\mathrm{M}$, lorsque l’on y fait

$\begin{array}{cccccc}x& =\mathrm{A},& y& =\mathrm{B},& z& =\mathrm{C},\dots ,\end{array}$

ou, ce qui revient au même,

$\begin{array}{cccccc}\xi & =0,& \eta & =0,& \zeta & =0,\dots .\end{array}$